【摘要】：動(dòng)力系統(tǒng)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在生物,化學(xué),物理和工程等領(lǐng)域的建模當(dāng)中.由于模型方程的精確解是很難得到,因此數(shù)值方法為我們提供了一個(gè)很好的求解途徑.目前大多數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)采用局部的整數(shù)階方程進(jìn)行刻畫,但是對(duì)于具有記憶性和非高斯行為的動(dòng)力系統(tǒng),采用非局部的分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行描述相比整數(shù)階模型更加恰當(dāng).如:采用非局部的Fokker-Planck方程描述由穩(wěn)定的Lévy噪聲(非高斯噪聲)驅(qū)動(dòng)的基因轉(zhuǎn)錄過程.在這篇文章當(dāng)中,我們主要考慮與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)的非局部偏微分方程的數(shù)值算法及其應(yīng)用.本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第一部分我們簡(jiǎn)要介紹了與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)的非局部方程數(shù)值算法及其應(yīng)用.第二部分我們考慮了帶波動(dòng)算子的非線性薛定諤方程的若干個(gè)守恒型差分方法,證明了數(shù)值解的有界性和數(shù)值方法在無窮范數(shù)下的收斂性和穩(wěn)定性,并采用Richardson外推方法提高數(shù)值方法在時(shí)間方向上的收斂精度.最后,若干個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該數(shù)值方法的有效性.第三部分我們考慮了二維Riesz分?jǐn)?shù)階非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的數(shù)值方法.文中分別采用擬緊格式和Crank-Nicolson格式離散Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和時(shí)間導(dǎo)數(shù),再通過引進(jìn)小的擾動(dòng)項(xiàng)構(gòu)造了交替方向隱(ADI)格式,證明了該格式是可解的和條件收斂.另外,將文中的方法與外推的Crank-Nicolson緊ADI方法,Crank-Nicolson ADI方法進(jìn)行了比較,數(shù)值結(jié)果說明文中提出的方法是具有可比性的.最后,將該數(shù)值方法應(yīng)用到耦合的分?jǐn)?shù)階FitzHugh-Nagume模型當(dāng)中.第四部分我們應(yīng)用非局部偏微分方程去刻畫基因調(diào)控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.我們考慮在基因調(diào)控模型的合成反應(yīng)速率項(xiàng)引入穩(wěn)定的Lévy噪聲,通過最大可能軌道分析了基因調(diào)控系統(tǒng)中轉(zhuǎn)錄因子活化子(TF-A)濃度的演化路徑,其中最大可能軌道是通過數(shù)值計(jì)算解軌道所對(duì)應(yīng)的非局部Fokker-Planck方程的最大值得到.為了了解轉(zhuǎn)錄發(fā)生的過程以及轉(zhuǎn)錄可能發(fā)生的時(shí)間,我們考慮了不同噪聲參數(shù)和噪聲強(qiáng)度下TF-A濃度從低濃度到高濃度(轉(zhuǎn)錄可能發(fā)生的區(qū)域)的最大可能軌道,并發(fā)現(xiàn)了一些奇特或反直覺的現(xiàn)象,而這些發(fā)現(xiàn)為進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)研究提供了有用的信息.第五部分對(duì)本文的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié),并在本文的基礎(chǔ)上提出了后續(xù)的研究課題和內(nèi)容.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175.2;O19

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本文編號(hào)：2664650