【摘要】：本文利用幾何奇異攝動(dòng)理論和鴨理論等,研究若干由反應(yīng)-擴(kuò)散-對(duì)流方程描述腫瘤入侵的奇異攝動(dòng)模型行波解的存在性.主要思路如下:首先,通過行波變換,將偏微分方程化為奇異攝動(dòng)常微分方程組;接著,通過構(gòu)造常微分系統(tǒng)異宿軌的辦法來獲得偏微分方程波前解的存在性及其對(duì)應(yīng)的參數(shù)條件.論文分為三章:第一章為緒論.本章對(duì)課題研究的背景、意義和進(jìn)展進(jìn)行了綜述;同時(shí)也簡要介紹了幾何奇異攝動(dòng)理論和鴨理論等相關(guān)知識(shí)及本文的主要工作.第二章引進(jìn)廣義Allee函數(shù)來描述腫瘤的生長,給出了一類由反應(yīng)-擴(kuò)散-對(duì)流方程描述的新的腫瘤入侵模型..廣義Allee函數(shù)和Allee函數(shù)區(qū)別在于:前者具有更高次的非線性項(xiàng).實(shí)際上,我們的腫瘤模型可以看作是Allee函數(shù)所對(duì)應(yīng)的退化情形(Sewalt等在J.Theoretical Bio.,(394)2016,pp.77-92已經(jīng)研究了Allee增長的情形).利用幾何奇異攝動(dòng)理論和鴨理論,本章旨在研究非線性高次項(xiàng)—即參數(shù)m對(duì)模型沖擊波解的存在性的影響.研究發(fā)現(xiàn):(1)當(dāng)次數(shù)m ≥ 4時(shí),類型Ⅰ波和Ⅱ波不可能存在,僅當(dāng)m = 2和3時(shí)類型Ⅰ、Ⅱ波才可能存在;(2)折曲線上至多可存在兩個(gè)(正則系統(tǒng)的)平衡點(diǎn),一個(gè)總是鞍點(diǎn),而另一個(gè)可能是穩(wěn)定焦點(diǎn)或穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)—這完全取決于參數(shù)m;(3)當(dāng)2 ≤ m ≤ 8時(shí),第二個(gè)平衡點(diǎn)幾乎不可能是結(jié)點(diǎn),而隨著m從9開始增大,第二個(gè)平衡點(diǎn)“很容易”成為結(jié)點(diǎn).若第二個(gè)平衡點(diǎn)是結(jié)點(diǎn),則折曲線上共存在兩個(gè)”孔”,這導(dǎo)致了幾種新的沖擊波解的存在.第三章考慮廣義Allee增長和競爭效應(yīng)的結(jié)合,建立了新的腫瘤模型.基于第二章的結(jié)果,我們旨在研究競爭對(duì)廣義Allee模型沖擊波解的存在性的影響.我們發(fā)現(xiàn):系統(tǒng)在折曲線上也存在兩個(gè)平衡點(diǎn),一個(gè)總是鞍點(diǎn),而另一個(gè)可能是焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)一一同樣取決于m和競爭系數(shù)γ.當(dāng)m=1時(shí),通過計(jì)算和相平面分析發(fā)現(xiàn):第二個(gè)平衡點(diǎn)幾乎不可能是結(jié)點(diǎn),而是不穩(wěn)定焦點(diǎn).進(jìn)一步地控制07γmax,此時(shí)可發(fā)現(xiàn)模型存在類型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四種波解且不唯一一即對(duì)于固定的兩個(gè)平衡點(diǎn)同時(shí)有兩條以上的異宿軌.當(dāng)m1時(shí),通過相平面和平衡點(diǎn)的分析可確定其不存在類型Ⅰ波和Ⅱ波,而對(duì)于其他波的存在性由于系統(tǒng)為高階且參數(shù)較多的原因沒有做具體討論.第四章是對(duì)本文研究工作的總結(jié)及展望。
【圖文】：

研宄奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的流在折曲線（折流形）上的動(dòng)力學(xué)．通過引入上述有關(guān)”孔”的定逡逑義，即折曲線（折流形）上的折鞍點(diǎn)／折結(jié)點(diǎn)，Ｓｚｍｏｌｙａｎ和Ｗｅｃｈｓｅｌｂｅｒｇｅｒ等［７’２Ｑ，２３Ｈ正明：逡逑穿過折鞍點(diǎn)／折結(jié)點(diǎn)的流是保持的．如圖１．３所示：經(jīng)過折鞍點(diǎn)和折結(jié)點(diǎn)（圖中紅色逡逑的點(diǎn)）的穩(wěn)定（州￡２）和不穩(wěn)定流形（Ｈ／＆）是保持0⑷的．這一保持性是發(fā)現(xiàn)沖擊逡逑波解存在的關(guān)鍵之處．逡逑８逡逑

引理２．２．２．對(duì)于０邋＜邋？；邋＜邋１和任意整數(shù)ｍ邋＞邋２，若０邋＜邋ｃ邋＜邋ｃ邋＝邋ｃ＋（ｍ），則逡逑折曲線上存在兩個(gè)平衡點(diǎn)；若ｃ邋＝邋ｃ＋（ｍ），則折曲線上存在一個(gè)鞍－結(jié)分支平衡點(diǎn)；逡逑若ｃ邋＞邋ｃ＋（ｍ），則折曲線上不存在平衡點(diǎn)，詳見圖２．１，，這里，逡逑ｃ＋邋＝邐（切＋）ｍ＿§邋—邋（ｍ邋＋邋ｌ）（ｗ＋廣—Ｉ）邐（２．２．１５）逡逑0逡逑和逡逑，２ｍ邋—邋３邐．邐．逡逑ｗ＋邋＝邋邐邐ｍ邋＞邋２．邐（２．２．１６）逡逑２ｍ邋—邋１邐—逡逑證明：事實(shí)上，方程（２．２．１４）即為逡逑（ｃ２邋＝邋２逡逑＼邋ｗｍ（ｌ邋－ｗ）邋＝逡逑化簡得到逡逑ｑ（ｗ）邋＝邋Ｖ２ｗｍ（ｌ邋—邋ｗ）邋—邋ｃｗ＾邋—邋ｓ（ｗ），邐（２．２．１７）逡逑這里０邋＜邋ｔｙ邋＜邋１．若ｉｔ；可以由這個(gè)方程解得，那么對(duì)應(yīng)的ｗ值由ｕ邋＝＝邋給出．逡逑分別對(duì)ｇ（奶）和《５（yU）關(guān)于ｕ；求導(dǎo)并令可得：逡逑ｃ＋（ｍ）邋＝邐＿邋（ｍ邋＋邋ｌ）（ｉｙ＋）ｍ＿２）．逡逑0逡逑將上式代入（２．２．１７），可得逡逑，邋２ｍ邋—邋３逡逑Ｗ邋卞＝邋邐７．逡逑２ｍ邋—邋１逡逑通過描繪９（ｗ）和ｓ（ｗ）的圖像，引理２．２．２就可以很容易理解，如圖２．１所示．證畢．逡逑
【學(xué)位授予單位】：福建師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：2663555