【摘要】：本文主要研究常系數(shù)和變系數(shù)非線性四階常微分方程多解計(jì)算的數(shù)值方法。主要包括關(guān)于微分方程的特征函數(shù)展開(kāi)離散化方法和關(guān)于離散化方程組的同倫延拓法。在第一部分中,我們對(duì)四階常微分方程采用特征函數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行離散,并分別得到關(guān)于離散誤差的H1-范數(shù)估計(jì)和L2-范數(shù)估計(jì)。我們用數(shù)值算例驗(yàn)證特征函數(shù)展開(kāi)法的收斂速度。在第二部分中,我們從數(shù)值上尋找具立方非線性的四階常微分方程的多解。對(duì)于用特征函數(shù)展開(kāi)法得到的離散化方程組,我們構(gòu)造了快速求其全部解的多項(xiàng)式同倫。此種同倫方法的思想是逐次求解自由度逐漸增加的離散化多項(xiàng)式方程組,前一步的解代入后一步的初始方程組,然后只需求解最后一個(gè)多項(xiàng)式即可得到后一步初始方程組的全部解,然后再用路徑跟蹤求得后一步目標(biāo)方程組的全部解,由此形成一個(gè)遞歸過(guò)程來(lái)求最細(xì)離散水平上方程組的全部解。我們提出有限差分過(guò)濾子和牛頓過(guò)濾子以剔除離散化方程組解集中可能出現(xiàn)的偽解。這些過(guò)濾子基于誤差估計(jì)。我們用數(shù)值例子驗(yàn)證所提同倫方法的效率。最后,我們提出求解變系數(shù)的三次和五次非線性四階常微分方程的對(duì)稱(chēng)同倫方法。對(duì)特征函數(shù)展開(kāi)離散化方程組,我們分析離散化多項(xiàng)式方程組解集的對(duì)稱(chēng)性。基于這種對(duì)稱(chēng)性,我們選取簡(jiǎn)單的四階常微分方程作為初始問(wèn)題,并將其在特征子空間中離散。此種離散化子方程組很容易求解。然后,我們將這些子方程組按塊組裝作成初始方程組,構(gòu)造對(duì)稱(chēng)同倫,求解目標(biāo)離散化方程組。由于只需跟蹤代表解路徑,對(duì)稱(chēng)同倫可以節(jié)省計(jì)算量。我們應(yīng)用牛頓過(guò)濾子以剔除可能的偽解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,所構(gòu)造的對(duì)稱(chēng)同倫是高效的。
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類(lèi)號(hào)】：O241.81

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前2條

1 楊和;;非線性四階周期邊值問(wèn)題正解的存在性和多重性[J];大學(xué)數(shù)學(xué);2011年05期

2 ;Analysis of search-extension method for finding multiple solutions of nonlinear problem[J];Science in China(Series A:Mathematics);2008年01期

，

本文編號(hào)：2662016