【摘要】：在自然界和日常生活中,許多事物的變化不僅受到當(dāng)時(shí)狀態(tài)的影響,還要受到過(guò)去的歷史狀態(tài)以及隨機(jī)因素的影響。為了更精確的描述客觀世界,在控制論、金融學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及地理等各領(lǐng)域中提出了越來(lái)越多類型的隨機(jī)泛函微分方程。由此可見(jiàn)對(duì)隨機(jī)泛函微分方程的研究尤為必要。鑒于非線性隨機(jī)泛函微分方程求解的復(fù)雜性,尋求適當(dāng)?shù)臄?shù)值算法求解相應(yīng)的數(shù)值解既具有重大的理論意義又有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本文主要研究幾類隨機(jī)泛函微分方程的精確解性質(zhì)及數(shù)值方法的收斂性、穩(wěn)定性。本文主要研究的內(nèi)容如下:第一章介紹了隨機(jī)微分方程(SDEs)和隨機(jī)泛函微分方程(SFDEs)的背景,綜述SDEs和SFDEs的理論分析以及數(shù)值分析的研究現(xiàn)狀,簡(jiǎn)要介紹了本文的主要工作。第二章討論系數(shù)滿足全局Lipschitz條件的隨機(jī)時(shí)滯微分方程(SDDEs)θ方法的小階矩(p∈(0,1))收斂性和穩(wěn)定性。首先,分析θ方法的p階矩有界性和強(qiáng)收斂性,進(jìn)而利用收斂性,建立方程精確解p階矩指數(shù)穩(wěn)定性與θ方法的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性的等價(jià)關(guān)系。最后給出SDDEs和θ方法是幾乎必然穩(wěn)定的充分條件。第三章針對(duì)系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和Khasminskii型條件的SFDEs,首先構(gòu)造截?cái)郋uler-Maruyama方法。其次考慮該方法的p階矩有界性。然后研究該方法在Lq意義(2≤qp,p為Khasminskii型條件中的常數(shù))下的強(qiáng)收斂性。最后在漂移項(xiàng)系數(shù)滿足單邊Lipschitz條件、多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)滿足全局Lipschitz條件時(shí)給出收斂階。第四章針對(duì)漂移項(xiàng)系數(shù)f=F+F1和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)g=G+G1的SDDEs,當(dāng)F1和G1滿足全局Lipschitz條件,F和G滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)和Khasminskii型條件時(shí),構(gòu)造部分截?cái)郋uler-Maruyama方法;考慮該方法的p階矩(p為Khasminskii型條件中的常數(shù))有界性;進(jìn)而分析該方法的強(qiáng)收斂性,同時(shí)給出收斂階。第五章針對(duì)漂移項(xiàng)系數(shù)f=F+V和擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)g=(g1,g2,···,gm)(gj=(Gj+Uj),j=1,2,···,m)的具有交換噪聲的SDEs,當(dāng)V和Uj滿足全局Lipschitz條件,F和Gj滿足局部Lipschitz條件和Khasminskii型條件時(shí),由于顯式EulerMaruyama是不收斂的,而部分截?cái)郋uler-Maruyama方法的收斂階僅為接近于1/2,本章首先構(gòu)造顯式部分截?cái)郙ilstein方法。其次討論該方法的p階矩有界性和該方法的均方強(qiáng)收斂性。然后在F和Gj滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件時(shí)給出接近于1的收斂階。最后,給出該方法保持精確解均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O241.8

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本文編號(hào)：2650313