【摘要】：倒向隨機(jī)微分方程(簡記為BSDE)已經(jīng)發(fā)展成為概率論的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,其與金融學(xué),隨機(jī)控制與偏微分方程等領(lǐng)域的許多問題存在著重要的聯(lián)系.本文系統(tǒng)地研究了BSDE的三個(gè)方面的問題,具體如下:第一方面,本文建立了一致連續(xù)條件下F-期望與F-估價(jià)的表示定理.2000年,Coquet et al.~([79])在一種Lipschitz型控制條件下證明了任何F期望可以表示成為g-期望.這意味著滿足該控制條件的任何資產(chǎn)定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)度量方法可以通過求解BSDE來實(shí)現(xiàn).Peng~([82])進(jìn)一步提出如下問題:是否g-期望與g-估價(jià)可以表示所有具有足夠正則性的F-期望與F-估價(jià)?本文進(jìn)一步回答了此問題.我們提出了一種一致連續(xù)型控制,并在此控制條件下證明了任何F-期望與F-估價(jià)都是g-期望與g-估價(jià).從而極大擴(kuò)展了F-期望與F-估價(jià)可以表示為g-期望與g-估價(jià)的范圍.具體來講,我們的表示定理指出在一致連續(xù)控制條件下,任何F-期望與F-估價(jià)都是生成元滿足某種一致連續(xù)性條件的BSDE的解.本文的研究克服了由于缺乏Lipschitz連續(xù)所帶來的困難,其中關(guān)于有界性的討論與局部化方法發(fā)揮了重要的作用.第二方面,本文建立了二次增長BSDE生成元的表示定理以及反射倒向隨機(jī)微分方程(簡記為RBSDE)生成元的局部表示定理.生成元的表示定理在BSDE的性質(zhì)與非線性期望的研究中發(fā)揮著重要的作用,我們首先在生成元關(guān)于z二次增長的條件下獲得了此定理,其中一種情形是生成元關(guān)于y線性增長,另外一種情形是生成元關(guān)于y單調(diào)且凸增長.并且應(yīng)用其研究了二次增長g-期望的性質(zhì),這些性質(zhì)推廣了文獻(xiàn)[66]中的若干結(jié)果.其次,為了研究一般情形下RBSDE的性質(zhì),我們進(jìn)一步將BSDE生成元的表示定理推廣到了RBSDE的情形,在生成元關(guān)于(y,z)線性增長的條件下,獲得了RBSDE生成元的局部表示定理.與BSDE的情況相比,我們的結(jié)果主要存在兩點(diǎn)不同,一是此定理中包含了RBSDE的解K,二是此定理是建立在局部空間上的.利用此表示定理,我們獲得RBSDE的一個(gè)一般的逆比較定理.第三方面,本文引入了一類新的BSDE,稱之為泛函BSDE,其生成元不僅依賴其解當(dāng)前時(shí)刻的取值,還同時(shí)依賴于其過去與未來的取值.此類BSDE從形式上可以看作是Peng和Yang~([34])引入的超前BSDE與Delong和Imkeller~([41])引入的延遲BSDE的一種推廣.具體來講,本文中泛函BSDE的生成元g(t,·,·)依賴于其解在[t-l,t+u]的上的取值,其中l(wèi)≥0與u≥0分別是延遲時(shí)間參數(shù)與超前時(shí)間參數(shù).對(duì)于充分小的延遲時(shí)間l或者充分小的Lipschitz常數(shù),本文證明了泛函BSDE解的存在唯一性.此結(jié)果不依賴于終端時(shí)間T,這不同于文獻(xiàn)[41]的結(jié)果.進(jìn)一步,作為泛函BSDE的一種伴隨方程,我們引入了一類新的泛函SDE,其系數(shù)b(t,·)與σ(t,·)依賴于其解在[t-l,t+u]上的取值,其中l(wèi)≥0與u≥0分別是延遲時(shí)間參數(shù)與超前時(shí)間參數(shù).此類泛函SDE從形式上推廣了經(jīng)典的延遲SDE(見文獻(xiàn)[5])以及最近由Chen和Huang~([95])引入的超前SDE.對(duì)于充分小的超前時(shí)間u或者充分小的Lipschitz常數(shù),我們證明了其解的存在唯一性.同時(shí),建立了此類泛函BSDE與泛函SDE的比較定理與解的連續(xù)依賴性,并給出了這兩類方程之間的一種對(duì)偶關(guān)系.
【學(xué)位授予單位】：北京工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O211.63

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 李娟;谷艷玲;;反射倒向隨機(jī)微分方程的逆比較問題(Ⅰ)[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);2007年02期

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本文編號(hào)：2648957