【摘要】：耗散和色散是出現(xiàn)在非線性發(fā)展方程中的兩種完全不同的機(jī)制,這兩種機(jī)制對非線性發(fā)展方程解的適定性和性態(tài)的研究有著重要的作用.本文將通過對幾類非線性發(fā)展方程的耗散或色散機(jī)制的研究,來建立其解的適定性和長時間行為.具體地講,首先分析了兩類流體方程的耗散機(jī)制,注意到耗散在L2框架下帶來的能量損耗,針對滿足Cattaneo熱傳導(dǎo)律的磁流體方程,我們應(yīng)用能量方法得到了三維Cauchy問題解的適定性和松弛極限,該結(jié)果揭示了滿足Cattaneo熱傳導(dǎo)律的磁流體方程和滿足Fourier熱傳導(dǎo)律的磁流體方程之間的關(guān)系.針對一類非牛頓流方程,我們應(yīng)用能量方法得到了二維初邊值問題解的拉回動力學(xué)行為-拉回指數(shù)吸引子的存在性,此結(jié)果揭示了一類具有指數(shù)吸引速度和有限分形維數(shù)的拉回吸引子的存在性.然后分析了一類雙色散方程的色散機(jī)制,針對一類雙色散方程,注意到色散在L∞框架下帶來的時間衰減,我們應(yīng)用Green函數(shù)的方法得到了在任意有限維時Cauchy問題解的整體適定性和長時間行為,該結(jié)果顯示此雙色散方程解的衰減比對應(yīng)單色散方程解的衰減要慢.最后分析了帶阻尼的Boussinesq方程的耗散和色散耦合機(jī)制,針對帶阻尼的Boussinesq方程,注意到同時存在耗散和色散機(jī)制而且二者在L∞框架下同時帶來時間衰減,我們應(yīng)用Green函數(shù)的方法得到了在高維時Cauchy問題解的整體適定性和長時間行為以及粘性極限,此結(jié)果顯示當(dāng)同時考慮耗散和色散時,方程解的衰減會比單一考慮耗散或色散時衰減要快,當(dāng)考慮耗散漸近消失時,方程的解會逼近Boussinesq方程的解.具體內(nèi)容概括如下:第一章,我們將主要介紹所研究的幾類非線性發(fā)展方程的物理背景,研究現(xiàn)狀和研究內(nèi)容以及一些預(yù)備知識.第二章,我們將研究兩類流體方程的耗散機(jī)制.本章共分為兩大部分.在第一部分中,考慮滿足Cattaneo熱傳導(dǎo)律的磁流體方程的三維Cauchy問題,證明了大初值時解的局部適定性和小初值時解的整體適定性以及松弛極限.在第二部分中,考慮一類非牛頓流方程的二維初邊值問題,證明了大初值時解的拉回指數(shù)吸引子的存在性.第三章,我們將研究一類雙色散方程的色散機(jī)制.考慮一類雙色散方程在任意有限維時的Cauchy問題,證明了小初值時解的整體適定性和長時間行為以及散射.第四章,我們將研究帶阻尼的Boussinesq方程的耗散色散耦合機(jī)制.考慮帶阻尼的Boussinesq方程的高維Cauchy問題,證明了小初值時解的整體適定性和長時間行為以及粘性消失極限.
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O175.2

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