【摘要】：考慮如下時空分數(shù)階變系數(shù)擴散方程其中,Ω=(0,1),D是一階導數(shù)算子,0Dx1-β和xD11-β分別表示1-β(0β1)階左、右Riemman-Liouville分數(shù)階導數(shù)算子,0CDtαu表示α(0α1)階Caputo分數(shù)階導數(shù)算子,當α = 1時,0CDtαu=ut為時間的一階導數(shù);K(x)為具有正的上下界的擴散系數(shù),即存在Kmin、Kmaz0,0Kmin ≤ K(x)≤ Kmax+∞,x ∈(0,1);f ∈ L2(Ω)為源項或匯項,0≤θ ≤ 1表示粒子向前相對于向后轉(zhuǎn)移概率的權(quán)重.對上述變系數(shù)時空分數(shù)階擴散方程直接采用Galerkin方法所得到的雙線形式不能保證其強制性[15],因此,不能直接利用有限元方法求解.為克服此困難,我們通過引入通量p=-K(x)Du作為中間變量,將方程(0.0.1)化為變系數(shù)整數(shù)階問題和系數(shù)為1的雙邊分數(shù)階問題,建立混合型變分形式,據(jù)此構(gòu)造了混合型有限元方法.進一步,我們對α階時間導數(shù)進行離散獲得全離散混合型有限元格式,即當α = 1時,我們利用向后Euler方法對時間導數(shù)進行離散,對空間分數(shù)階導數(shù)分別采用混合型有限元和混合型間斷有限元方法離散;當0α1時,對Caputo分數(shù)階時間導數(shù)應(yīng)用L1方法離散,對空間分數(shù)階導數(shù)采用混合型有限元方法離散,從而,構(gòu)造出了數(shù)值模擬方程(0.0.1)的全離散混合型有限元格式.進而巧妙地利用反對稱矩陣分和塊矩陣的代數(shù)性質(zhì),證明了由混合型有限元格式導出的有限元方程組的系數(shù)矩陣可逆和有限元解存在唯一.在有限元方程組的求解過程中,我們發(fā)現(xiàn)由分數(shù)階算子的非局部性而產(chǎn)生的系數(shù)矩陣是由四個分塊矩陣構(gòu)成的非對稱非稀疏矩陣.傳統(tǒng)的Gauss消去方法求解需要O(N3)的計算量和O(N2)的存儲量(N為剖分網(wǎng)格的節(jié)點數(shù)),為提高計算效率,引入快速傅里葉變換(FFT),局部處理Toeplitz-like結(jié)構(gòu)的分塊矩陣,降低局部計算量為O(NlogN)和存儲量O(N),進而保證系數(shù)矩陣的計算量為O(N2)、存儲量為O(N).注意到求解有限元方程組解的計算效率不僅與計算量和存儲量有關(guān),還與迭代次數(shù)有關(guān).而系數(shù)矩陣為具有壞條件數(shù)的非稀疏矩陣,其迭代次數(shù)會隨著剖分的加密顯著增長.為降低迭代次數(shù),我們改進傳統(tǒng)的基于Toeplitz分塊矩陣和循環(huán)矩陣表達的預處理子,結(jié)合穩(wěn)定的雙共軛梯算法(BiCG-STAB),構(gòu)造了預條件快速穩(wěn)定的雙共軛梯度算法(PFBiCG).新的PFBiCG算法在保證每次迭代計算量為O(N2)、存儲量為O(N)的前提下,較傳統(tǒng)的Guass消去法和穩(wěn)定的雙共軛梯度算法(BiCG-STAB),明顯降低了迭代次數(shù),縮短了計算時間.本文中的數(shù)值實驗提高了計算效率,也驗證了實驗結(jié)果與理論預測的一致性.
【學位授予單位】：山東師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O241.82

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本文編號：2627197