【摘要】：本文主要研究了兩類非線性隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性理論及其在Lotka-Volterra模型中的應(yīng)用,分析了幾種隨機(jī)因素(Brown運(yùn)動(dòng),Markov鏈和奇異Markov鏈)對(duì)系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為的影響.本文的主要內(nèi)容包括以下五個(gè)部分.第一章介紹了相關(guān)隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性理論以及應(yīng)用在種群系統(tǒng)的研究進(jìn)展,并給出本論文的工作概要及貢獻(xiàn).帶有奇異Markov鏈的隨機(jī)微分方程在大規(guī)模工業(yè)生產(chǎn)、大系統(tǒng)的控制和優(yōu)化等領(lǐng)域具有重要的作用,然而目前的相關(guān)理論研究多數(shù)集中在線性系統(tǒng).在第二章,我們研究了帶有奇異Markov鏈的非線性隨機(jī)微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),其中小參數(shù)用來(lái)反映系統(tǒng)在離散狀態(tài)間切換的不同頻率.這種帶有兩尺度切換頻率的Markov鏈被稱為兩時(shí)間尺度Markov鏈或奇異Markov鏈.在平均化原理型的充分條件的保證下,我們利用攝動(dòng)Lyapunov方法和漸近分析方法,獲得了受奇異Markov鏈驅(qū)動(dòng)隨機(jī)微分方程的矩有界性、矩指數(shù)穩(wěn)定性和測(cè)度的收斂性.該部分結(jié)果去掉了前人線性增長(zhǎng)的條件,并舉例說(shuō)明了具有強(qiáng)非線性的SDEs的穩(wěn)定性.非線性方程的耦合系統(tǒng)是另一類狀態(tài)空間很大的復(fù)雜系統(tǒng),被廣泛應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),生態(tài)系統(tǒng)和工程控制等領(lǐng)域.在第三章,我們考慮了網(wǎng)絡(luò)上具有可變時(shí)滯的耦合隨機(jī)微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).首先結(jié)合圖理論和隨機(jī)Lyapunov分析法得到解的整體存在唯一性.然后通過(guò)有向圖的結(jié)構(gòu)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,利用非負(fù)半鞅收斂定理,獲得了解過(guò)程的幾乎必然穩(wěn)定性,并給出限定系統(tǒng)極限集的充分條件.最后,將上述結(jié)果應(yīng)用到Lotka-Volterra模型和振蕩系統(tǒng),驗(yàn)證了該部分的理論結(jié)果.鑒于種群系統(tǒng)不停遭受到來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部和外部的隨機(jī)干擾,第四章作為非線性隨機(jī)系統(tǒng)的主要應(yīng)用,研究了帶有Markov切換的隨機(jī)多種群Lotka-Volterra模型,給出系統(tǒng)隨機(jī)持久性的充分條件,以及解過(guò)程在樣本路徑意義下的漸近估計(jì).進(jìn)一步考慮了互惠關(guān)系的Lotka-Volterra模型,獲得了隨機(jī)強(qiáng)持久性以及遍歷性.這些結(jié)果解釋了實(shí)際中種群數(shù)量的常返現(xiàn)象,并揭示了隨機(jī)切換可以抑制種群不持久的特性.在上一章基礎(chǔ)上,針對(duì)環(huán)境狀態(tài)的多樣性以及隨機(jī)環(huán)境間切換速率的不同,第五章提出帶有奇異Markov切換的隨機(jī)多種群Lotka-Volterra模型,研究了其長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)行為.我們首先利用鞅方法獲得系統(tǒng)在有限時(shí)間的弱收斂,然后以弱極限系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為橋梁,利用攝動(dòng)Lyapunov分析法,得到種群的隨機(jī)(強(qiáng))持久性和滅絕性.此外,我們給出在長(zhǎng)時(shí)間下,原系統(tǒng)的漸近測(cè)度弱收斂到極限系統(tǒng)不變測(cè)度的充分條件,即非線性多種群系統(tǒng)測(cè)度收斂的平均原理.揭示了奇異攝動(dòng)的切換對(duì)種群數(shù)量的不持久具有抑制作用.
【圖文】：

這一節(jié)主要證明弱收斂并給出ｆ?zhèn)�極限系統(tǒng)？為了簡(jiǎn)化復(fù)雜性和降低維度，我逡逑們處理離散狀態(tài)較少的過(guò)程而不是其中是（１．３．２）逡逑定義的聚類過(guò)程．圖２．１描繪了邋ｆ⑴及其聚類過(guò)程ｆ⑷的軌道，其中ｅ邋＝邋０．１，逡逑．生成元由（５．１．１）給出，，并：藍(lán)滿足０邋＝邋ｄｉａｇ．＾１＾２），，逡逑（－２邐１邐１０邐０邋＾逡逑／邐、邐／－３邐３邐０、邐１－３０１１逡逑Ｑ１邋＝邋（邐＼邋，Ｑ２邋＝邐１－２邐１邋，和邋＜0邋＝邐０邐１－３邐１邐１邐？逡逑＼邐、１邐１邐－２）邐２邐１邐０－４邐１逡逑＾邋１邐１邐０邐１邐－３ｊ逡逑（２．２．１）逡逑假設(shè)２．２．１．對(duì)任意Ａｒ邋ｅ邋Ｓ，存在函數(shù)Ｇ邋Ｃ２（，；Ｒ＋）使得逡逑ｌｉｍ邋ｉｎｆ邋Ｖ（ｘ＾邋ｋ）邋＝邋ｏｃ，逡逑｜ｉｃ｜＾ｏｏ邋ｋｅＳ邐７逡逑并且邋７（ｘ；７）：＝ＥＵｖ＞，ｆｃＫｆＴ＃ィ

本文編號(hào)：2603290