【摘要】：傳統(tǒng)的微分方程數(shù)值解方法在求解對流占優(yōu)問題時(shí),常常會(huì)產(chǎn)生數(shù)值震蕩或數(shù)值擴(kuò)散現(xiàn)象。針對對流占優(yōu)問題引起的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,本文提出了定制有限點(diǎn)法(Tailored finite point method,簡記為TFPM)用于數(shù)值求解變系數(shù)的奇異攝動(dòng)對流擴(kuò)散方程。定制有限點(diǎn)法的算法格式基于所求解問題的解在各離散點(diǎn)的局部性質(zhì)所“量身”構(gòu)建,是求解奇異攝動(dòng)問題的一種有效的高精度算法。對于時(shí)間分?jǐn)?shù)階變系數(shù)對流占優(yōu)擴(kuò)散方程,經(jīng)典有限差分法在對流占優(yōu)情況下容易產(chǎn)生非物理震蕩,而采用定制有限點(diǎn)法處理空間項(xiàng),能夠有效的避免由擴(kuò)散系數(shù)過小引起的數(shù)值震蕩現(xiàn)象.本文主要研究工作有以下幾個(gè)方面:首先,介紹了定制有限點(diǎn)法的基本原理和研究進(jìn)展史,以及分?jǐn)?shù)階微分算子的定義與基本性質(zhì)和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近;同時(shí),還介紹了對流擴(kuò)散方程和時(shí)間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程的研究背景及研究現(xiàn)狀。其次,針對一維、二維的對流占優(yōu)擴(kuò)散方程與時(shí)間分?jǐn)?shù)階對流占優(yōu)擴(kuò)散方程,分別構(gòu)造了定制有限點(diǎn)數(shù)值算法:針對一維非穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散方程,分別介紹了顯式TFPM格式、隱式TFPM格式和基于指數(shù)變換方程的TFPM算法;針對時(shí)間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程,分別介紹了基于G-L逼近與L1逼近的TFPM離散格式:深入討論了數(shù)值模擬結(jié)果與空間步長和時(shí)間步長之間的關(guān)系,分析了算法的收斂階,進(jìn)而將數(shù)值模擬誤差結(jié)果分別與有限差分法、特征有限差分法進(jìn)行比較,充分證明了本文方法的高效性。最后,通過理論分析,討論了本文算法的穩(wěn)定性。針對一維、二維的時(shí)間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程,分別討論了基于G-L逼近與L1逼近的TFPM離散格式的穩(wěn)定性。從理論上分析了算法的可行性和有效性。
【圖文】：

Ｆｉｇ．邋１－１邋Ｔｈｅ邋ｃｈａｎｇｅｓ邋ｏｆ邋ｐｈｙｓｉｃａｌ邋ｑｕａｎｔｉｔｙ邋ｉｎ邋ｌｉｍｉｔｅｄ邋ｒｅｇｉｏｎ邋Ｄ逡逑物理量ｐ在有限區(qū)域Ｄ內(nèi)，對流過程產(chǎn)生的變化主要是通過流動(dòng)時(shí)間和流動(dòng)位置的變化兩逡逑方面來控制。對于圖１－１，在區(qū)域Ｄ中的對流過程，物理量ｐ的變化的可用積分表示為：逡逑ｄ．５６）逡逑其中是流體速度在邊界上的法向量。由Ｇｒｅｅｎ公式必0＿ｖ（押＞ｉＤ，有逡逑ｓ邐Ｄ逡逑＝ｌ邋Ｌ邋＾邋＋邐（�。担罚╁义衔锢砹浚鹪趨^(qū)域Ｄ內(nèi)的擴(kuò)散過程中所產(chǎn)生的變化的主要是由流體中的分子的自由擴(kuò)逡逑散和湍流的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)所引起的，故ｐ量的變化是由氋向低的方向趨勢。設(shè)ｐ擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的速逡逑度為根據(jù)物理學(xué)中的第一邋Ｆｉｃｋ定律，可以得到速度ｇ和物理量＾之間的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)逡逑式：ｇ邋＝邋，其中Ｚ是擴(kuò)散系數(shù)。因此，有限區(qū)域Ｚ）內(nèi)ｐ增量可表示為逡逑ｊｎｑｄＳ邋＝邋ｊｎ邋■邋ＫＡ（ｐｄＳ邋＝邋｜Ｊｄｉｖ（ＫＶ（ｐ）ｄＤ．邐（１．５８）逡逑此外，物理量ｐ的變化還存在于流動(dòng)過程中的源（或匯）。設(shè)ｇ表示源（或匯）的強(qiáng)逡逑度，且０＞0表示源，０＜0表示匯，｜０｜的大小反映了ｐ遞增或遞減的速度。記物理量ｐ的逡逑增加量為］］以？。根據(jù)物質(zhì)的質(zhì)量守恒定律，ｐ的變化滿足下式：逡逑Ｄ逡逑ＪＪ邋［＾－邋＋邋ｄｉｖ（（ｐｕ）］ｄＤ邋＝邋＼＼邋ｄｉｖ｛ＫＶ（ｐ）ｄＤ＋＼＾ＱｄＤ．邐（１．５９）逡逑由于區(qū)域Ｄ選取的任意性

ｕｔ－ｅｕｐｘ，ｙ，ｕｘｑｘ，ｙ，ｕｙ邋＝ｘ，ｙ，，ｘ，ｙｅ．，，逡逑＜邋ｕ｛ｘ，ｙ，Ｑ＞）邋＝邋ｊｕ０（ｔ），邐（ｘ，＾）ｅＱ，ｕ｛ｘ，ｙ，ｔ＾邋＝邋／／，邋（ｆ），，邐ｅ邋ｄＱ，ｔ邋＞邋０．逡逑：Ｑ邋＝邐Ｉｘｆｈ，八；］是有界區(qū)域，ＳＤ是光滑邊界，ｌ；邐矣０，《（ｕ，ｆ）矣０是連續(xù)函數(shù)。逡逑均勻地剖分網(wǎng)格，取空間步長時(shí)間步長ｒ，節(jié)點(diǎn)記邋ｙｊ邋＝邋Ｋ邋￣邋ｍ＇＞邐ＮＸ，邋０邋＜邋ｙ邋＜邋ＮＹ，邋０＜ｎ＜邋ＮＴ．｛0邋（ｘ；，Ａ，，？），０邋Ｗ洰，０邋＜邐洰，０邋ＳN轄�。辶x希玻鑠義嫌齲劍繡澹ㄐ那扇耍�，＞掑＝《（ｘ，，），人）Ο邋（？，？匕）？可写为辶x希酰簦螅粒蹂澹澹穡歟輳眨澹澹瘢歟輳眨澹藉�，Ｍ（ｎｄ－ｙ＾，贝e史匠蹋ǎ玻擔(dān)擔(dān)┛殺浠晃義希觶簦澹粒鰣澹澹穡歟輳鄭瘢歟輳鄭澹藉澹埃諶繽跡玻的０澹襠瞎乖燉肷⒏袷藉義

本文編號：2597201