【摘要】：橢圓方程組和拋物方程組在科學(xué)和工程領(lǐng)域內(nèi)具有重要的理論和實(shí)際意義.隨著偏微分方程理論的發(fā)展,由Hormander向量場(chǎng)構(gòu)成的方程組受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.已有許多學(xué)者在歐氏空間中研究了對(duì)角型橢圓和拋物方程組弱解的正則性,但對(duì)非對(duì)角型橢圓和拋物方程組的研究較少,目前還未見(jiàn)到由Hormander向量場(chǎng)構(gòu)成的非對(duì)角型退化橢圓和拋物方程組的研究.本文研究了由光滑Hormander向量場(chǎng)構(gòu)成的低階項(xiàng)滿足一類增長(zhǎng)性條件的非對(duì)角型擬線性退化橢圓方程組和拋物方程組弱解的正則性；還研究了一類非齊次超拋物方程弱解的正則性.全文由以下三部分組成.第一部分研究了由光滑Hormander向量場(chǎng)構(gòu)成的非對(duì)角型擬線性退化橢圓方程組弱解的正則性.針對(duì)非對(duì)角型退化橢圓方程組,本文利用系數(shù)的分解形式,將方程組分解為對(duì)角型齊次方程組與對(duì)角型非齊次方程組,分別研究其弱解梯度的Lp(p≥2)正則性,并由這兩類方程組弱解梯度的Lp正則性結(jié)合齊型空間上的反向Holder不等式得到非對(duì)角型退化橢圓方程組弱解梯度的正則性.然后利用此結(jié)論分別討論齊次與非齊次方程組弱解的正則性,進(jìn)而將非齊次退化橢圓方程組弱解梯度的可積性進(jìn)行提升,得到了低階項(xiàng)滿足一類增長(zhǎng)性條件的非對(duì)角型退化橢圓方程組弱解梯度的高階Morrey(Lp,λ)正則性,最后研究了方程組弱解的Campanato正則性,并由Morrey引理證明了弱解的具確切Holder指數(shù)的Holder正則性.當(dāng)?shù)碗A項(xiàng)滿足另一類增長(zhǎng)性條件時(shí),還研究了弱解梯度的高階Campanato正則性.第二部分考慮了由光滑Hormander向量場(chǎng)構(gòu)成的低階項(xiàng)滿足自然增長(zhǎng)條件的非對(duì)角型擬線性拋物方程組弱解的正則性.由于拋物方程組缺乏相應(yīng)的Poincare不等式和Sobolev不等式,因此這部分首先通過(guò)選取合適的截?cái)嗪瘮?shù)對(duì)拋物方程組的弱解建立了拋物型Poincare不等式,并引入弱解在度量球上的平均,得到了拋物型Sobolev不等式.利用先驗(yàn)估計(jì)建立了拋物方程組弱解的Caccioppoli不等式,再結(jié)合拋物型Sobolev不等式和齊型空間上的反向Holder不等式證明了弱解梯度的高階Lp正則性和Morrey正則性,利用拋物型Poincare不等式導(dǎo)出弱解的Campanato正則性.在缺少拋物型Morrey引理時(shí),證明了Campanato空間與Holder空間的同構(gòu)關(guān)系,由此得到了拋物方程組弱解的Holder正則性.第三部分研究了一類非齊次超拋物方程弱解的正則性.已有學(xué)者利用奇異積分法研究了該類方程,另有一些學(xué)者利用先驗(yàn)估計(jì)法研究了齊次超拋物方程.本文利用先驗(yàn)估計(jì)法,在該類方程弱解為L(zhǎng)2可積時(shí),利用齊型空間中的反向Holder不等式提升弱解的可積性,得到了弱解梯度的高階正則性,即Lp估計(jì)和Morrey估計(jì).在建立弱解梯度的高階正則性時(shí),由于缺少所需的Sobolev不等式和Poincare不等式,所以本文利用超拋物算子的凝固算子的基本解性質(zhì)得到弱解的Sobolev不等式,通過(guò)選取合適的截?cái)嗪瘮?shù)證明了弱解的Poincare不等式.最后由弱解梯度的Morrey正則性和Poincare不等式得到了弱解的Campanato正則性.
【學(xué)位授予單位】：西北工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.2

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本文編號(hào)：2559540