【摘要】：最近十幾年來,越來越多的數(shù)學(xué)工作者開始關(guān)注具有變指數(shù)的偏微分方程,部分工作可參見專著[44]以及其中的文獻(xiàn).究其主要原因是這類問題在物理學(xué)中的重要應(yīng)用.帶有變指數(shù)的偏微分方程模型主要來源于電流變流體(electro-rheological fluids) [99];它為某些帶有粘性的電流變流體的電力學(xué)性質(zhì)提供了更好的數(shù)學(xué)解釋.這種模型主要描述了向?qū)w施加外界電場(chǎng)時(shí),導(dǎo)體能夠承受電流劇烈改變的電力學(xué)性質(zhì).這種性質(zhì)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上有重要應(yīng)用,例如醫(yī)療恢復(fù)器械、激波吸收器、電動(dòng)制動(dòng)器、離合器等等.帶有變指數(shù)的偏微分方程模型所描述的Newton流體還可以描述應(yīng)用熱動(dòng)力學(xué)中的一些演化現(xiàn)象、非齊次媒質(zhì)的熱與物質(zhì)交換以及非Newton流體的熱對(duì)流效應(yīng)[9].這類偏微分方程模型還可應(yīng)用于彈性力學(xué)[116],變分方法[35]以及圖像去噪、圖像恢復(fù)[34]等方面.特別地,在數(shù)字圖像恢復(fù)中,考慮非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件更為合理并且有很多優(yōu)點(diǎn),其中的一個(gè)重要方面就是所謂的‘階梯效應(yīng)’.確切地講,研究帶有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的泛函,一方面可以保留原始圖像的邊緣部分,另一方面又可以形成原始圖像中所沒有的邊緣.這樣就大大有利于圖像恢復(fù)的實(shí)現(xiàn).本論文主要研究帶有變指數(shù)的拋物型和橢圓型方程的弱解、重整化(renormalized)解或熵(entropy)解的存在性問題.我們?cè)谧冎笖?shù)Sobolev空間框架下討論解的存在性,研究的主要內(nèi)容包括帶有非局部項(xiàng)的雙重退化拋物型方程的弱解、帶有一階梯度項(xiàng)且梯度增長(zhǎng)階為p(x)的拋物型p(x)-Laplace方程弱解以及重整化解、帶有零階項(xiàng)且主部退化強(qiáng)制的橢圓型p(x)-Laplace方程的重整化解以及熵解等.第1章主要是對(duì)本論文主要內(nèi)容的介紹以及關(guān)于變指數(shù)Sobolev空間的一些預(yù)備知識(shí).重點(diǎn)講述在變指數(shù)框架下,相對(duì)于常指數(shù)的情形,我們所研究方程的難點(diǎn)、需要克服的典型的困難以及解決問題所使用的主要方法.在第2章,我們研究如下的雙重退化拋物型p(x)-Laplace方程：其中,Ω是RN中的一個(gè)有界單連通區(qū)域,具有光滑邊界(?)Ω. QT=Ω×(0,T),ΓT= (?)Ω×(0,T),T0,τ∈(0,+∞)我們假定m1,p∈C1,α(Ω),并且p+=maxp(x),函數(shù)α∈L∞(QT),K∈L∞(QT)可以按T周期延拓到Ω×R.另外,我們?cè)O(shè)對(duì)幾乎處處的(x,t)∈QT,有K≥0.我們主要借助于Leray-Schauder拓?fù)涠鹊姆椒ㄗC明問題(2.1)非負(fù)非平凡弱解的存在性.首先對(duì)問題(2.1)做正則化,使之化為非退化方程；接下來對(duì)正則化方程的解做上界和下界的估計(jì).其中正則化方程解的上界估計(jì)是關(guān)鍵的步驟,我們使用了改進(jìn)的DeGiorgi迭代技術(shù)得到了該方程解的一致上界.通過選取合適的檢驗(yàn)函數(shù),得到這個(gè)方程解的正下界.利用Leray-Schauder拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃?我們?cè)谝粋�(gè)圓環(huán)上找到了正則化方程的弱解,最后通過Minty的方法和取極限過程得到了問題(2.1)的非負(fù)非平凡弱解.在第3章,我們考慮下面帶有一階梯度項(xiàng)的拋物型p(x)-Laplace方程的初邊值問題：其中,Ω (?) RN是有界域且具有光滑邊界(?)Ω,QT=Ω×(0,T),ΓT=(?)Ω×(0,T),T0是有限的,p(x),B(x,t),F(x,t)是給定的量.B∈L∞(QT)滿足0≤B(x,t)≤b,其中b0是一個(gè)常數(shù).F是一個(gè)向量場(chǎng)滿足|其中,并且我們主要借助于L∞估計(jì)的方法去研究方程(3.1)在空間V(定義詳見第3章)中弱解的存在性.首先在變指數(shù)拋物方程的情形下使用改進(jìn)的De Giorgi迭代技術(shù),得到問題(3.1)的一致L∞界(與解u本身無關(guān)).通過對(duì)方程右端梯度項(xiàng)做逼近得到原問題問題(3.1)的一致L∞界(與解u本身無關(guān)).通過對(duì)方程右端梯度項(xiàng)做逼近得到原問題的擾動(dòng)問題,對(duì)擾動(dòng)問題可以做第一步的De Giorgi迭代得到逼近解序列un的一致L∞界.然后利用非線性檢驗(yàn)函數(shù)的方法[53],對(duì)逼近問題做出估計(jì)并且取極限,從而得到問題(3.1)的弱解.前面兩章主要關(guān)注帶有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的拋物型方程的弱解存在性問題.在接下來的第4章和第5章,我們主要研究變指數(shù)的帶有低階項(xiàng)的拋物和橢圓型方程的重整化解和熵解.在第4章,我們研究下面的帶有變指數(shù)PLaplace算子和梯度項(xiàng)的非線性拋物方程其中,Q(?)RN是具有光滑邊界(?)Ω的有界域,QT=Ω×(0,T),ΓT=(?)Ω×(0,T),T0是有限的；f∈L1(QT),u0∈L1(Ω).F是一個(gè)向量函數(shù)滿足F∈(Lp'(x)(QT))N,其中p'(x)是p(x)的逐點(diǎn)Holder共軛函數(shù).函數(shù)g(x,t,s,ζ):QT×R×RN→R滿足Caratheodory條件(詳見第4章)；且有|g(x,t,s,ζ)|≤h(|s|)|ζ|p(x)+γ(x,t),其中h是一個(gè)正的不減連續(xù)函數(shù),λ0且λ∈L1(QT).此外,g滿足如下的符號(hào)條件g(x,t,s,ζ)s≥0,對(duì)任意的(s,ζ)∈R×RN和幾乎處處的(x,t)∈QT成立.我們對(duì)初值u0、梯度項(xiàng)g(x,t,u,%絬)以及右端項(xiàng)f做truncation逼近,從而得到問題(4.1)的逼近方程.回顧在前面第3章中得到逼近解序列um的幾乎處處收斂的方法：事實(shí)上通過De Giorgi迭代所得到的un在L∞(QT)中一致有界起到了本質(zhì)的作用.通過它得到了u。在弱解空間V中有界以及(?)un/(?)t在V+L1(QT)中有界,進(jìn)而得到un的強(qiáng)收斂和幾乎處處收斂.然而,在第4章,由于方程(4.1)右端項(xiàng)的可積性不夠好,這使得我們無法像第3章那樣得到un的L∞一致界以及un的幾乎處處收斂.我們采用Truncation方法.首先,通過對(duì)Tk(un)(定義詳見第4章)做一些先驗(yàn)估計(jì),先去證明un是依測(cè)度收斂的.根據(jù)Riesz定理,通過抽子列得到子列的幾乎處處收斂.然后,最關(guān)鍵的工作是選取適當(dāng)?shù)姆蔷�性檢驗(yàn)函數(shù)以及對(duì)逼近解序列做出合適的估計(jì).最后通過取極限過程,我們得到了問題(4.1)的重整化解的存在性.在變指數(shù)Sobolev空間框架下,第5章考慮下面的帶有零階項(xiàng)和退化強(qiáng)制的非線性橢圓型方程的重整化解和熵解這里,Ω (?)RN是具有光滑邊界aQ的有界域；f∈L1(Ω).a(x,s):Q×R→R是一個(gè)Caratheodory函數(shù);且滿足其中α0,γ(x)∈C(Ω),γ(x)≥0(這說明方程(5.1)中的主部項(xiàng)-div[a(x,u)|(?)u|P(x)-2(?)u]是退化強(qiáng)制的)；并且有|a(x,s)|≤β(|s|),其中β：[0,+∞)→(0,+∞)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).函數(shù)g(x,s)：Ω×R→R滿足Caratheodorv條件,并且對(duì)任意的κ∈R+,有sup|g(x,s)|=hk(x)∈L1(Ω), |s|≤k另外,g滿足下面的符號(hào)性條件g(x,s)s≥0,對(duì)任意的s∈R和幾乎所有的x∈Ω成立.這一章我們依然采用Truncation方法對(duì)逼近方程做估計(jì).但是與前一章拋物型方程相比有很多不同.回顧第4章拋物型方程的情形：借助于初值u0的信息和適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)：容易得到逼近解序列u。在L∞(0,T;L1(Ω))中的一致有界性；以及在L1(QT)中的一致有界.然而在橢圓型方程中,用同樣的方法得到逼近解序列u。在L1(Ω)中一致有界是不可能的.為了克服這個(gè)困難,我們使用帶有變指數(shù)的Marcinkiewicz估計(jì)[100].采用這種估計(jì),一方面能夠克服由退化強(qiáng)制項(xiàng)所帶來的困難,另一方面還可以使我們得到方程解u的正則性信息.借助于帶有變指數(shù)的Marcinkiewicz估計(jì)的結(jié)果,不僅可以得到逼近解序列un。的幾乎處處收斂性,還可以幫助我們處理方程的零階項(xiàng).通過選取合適的檢驗(yàn)函數(shù)以及精確的取極限過程,我們得到了Tk(un)在W01,(P(x))(Ω)中的強(qiáng)收斂.基于此,我們證明了問題(5.1)重整化解和熵解的存在性.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.2

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本文編號(hào)：2547331