【摘要】：關(guān)于自變量x,y的二階微分方程Tu=yu_(xx)+u_(yy)=0稱為Tricomi方程,它是混合型偏微分方程的經(jīng)典例子,稱T為Tricomi算子.這個方程在上半平面y＞0上是橢圓型的;在x軸y=0上是拋物型的;在下半平面y＜0上是雙曲型的.混合型方程是重要的偏微分方程,它在數(shù)學(xué)、物理和氣體動力學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用[1-50].例如光滑定�？缫羲贇饬鳚M足一混合型方程.但對于一致橢圓方程和一致雙曲方程,混合型方程有待更進(jìn)一步的研究.Tricomi算子在(3,2)-尺度變換下不變.按照物理學(xué)家們的通常做法,Tricomi算子有對應(yīng)于此尺度變換齊次的解.Barros-Neto和Gelfand[6]利用特征方法和Tricomi算子的齊次性得到Tricomi算子極點(diǎn)在退化線上的基本解F+和F-.本文第一章介紹其證明的背景知識和主要思路.Barros-Neto和Gelfand[7]還利用特征方法得到Tricomi算子極點(diǎn)在橢圓區(qū)域的基本解.本文第二章介紹其證明的主要方法.特別地,當(dāng)極點(diǎn)趨于退化線時,基本解的極限是(10)F和-F的線性組合.實(shí)部系數(shù)的和為1,虛部系數(shù)的和相抵消,故極限仍是Tricomi算子T的基本解.本文第三章我們利用Barros-Neto和Cardoso[3]的級數(shù)展開方法得到Tricomi算子極點(diǎn)在橢圓區(qū)域新形式的基本解,當(dāng)極點(diǎn)趨于退化線時,我們得到的基本解的極限行為與Barros-Neto和Gelfand[7]得到的基本解的極限行為不同:基本解的極限也是F+和F-的線性組合,但實(shí)部系數(shù)的和不為1,虛部系數(shù)的和不相抵消,故極限不再是Tricomi算子T的基本解.本文所做的工作為今后進(jìn)一步研究混合型方程的邊值問題和Cauchy問題等提供了幫助.
[Abstract]:The second order differential equation Tu=yu_ (xx) u _ (yy) = 0 for the independent variable xy is called Tricomi equation. It is a classical example of mixed partial differential equation, and T is called Tricomi operator. The equation is elliptic on the upper half plane y > 0, parabolic on the x axis y 0 and hyperbolic on the lower half plane y < 0. Hybrid equations are important partial differential equations, which are widely used in mathematics, physics and gas dynamics [1-50]. For example, smooth steady transonic flow satisfies a mixed equation. But for the uniform elliptic equation and the uniform hyperbolic equation, the mixed equation needs to be further studied. The Tricomi operator is invariant under the (3 ~ 2) -scale transformation. According to the usual practice of physicists, the Tricomi operator has a homogeneous solution corresponding to this scale transformation. Barros-Neto and Gelfand [6] obtain the fundamental solutions F and F of the Tricomi operator poles on the degenerate line by using the characteristic method and the homogeneity of the Tricomi operator. In the first chapter, the background knowledge and the main ideas of the proof are introduced. Barros-Neto and Gelfand [7] also obtain the basic solutions of the Tricomi operator poles in the elliptic region by using the characteristic method. The second chapter introduces the main methods of its proof. In particular, when the poles tend to degenerate, the limit of the fundamental solution is a linear combination of (10) F and -F. The sum of real part coefficients is 1, and the sum of imaginary part coefficients counteracts, so the limit is still the basic solution of Tricomi operator T. In the third chapter, we use the series expansion method of Barros-Neto and Cardoso [3] to obtain the basic solution of the pole of Tricomi operator in the new form of elliptic domain, when the pole tends to degenerate. The limit behavior of the basic solution is different from that obtained by Barros-Neto and Gelfand [7]: the limit of the fundamental solution is also a linear combination of F and F-, but the sum of the real part coefficient is not 1, the sum of the imaginary part coefficient is not offset. So the limit is no longer the basic solution of Tricomi operator T. The work in this paper will be helpful for the further study of the boundary value problem and Cauchy problem of the mixed equation in the future.
【學(xué)位授予單位】：江蘇大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.28

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本文編號：2392734