【摘要】：Dirichlet除數(shù)函數(shù)d(n)=(?)1,其和函數(shù)為D(x)=(?)d(n).它們是數(shù)論中非常重要的算術(shù)函數(shù),與許多著名的問題密切相關(guān),長期以來人們對其作了大量研究.本文將關(guān)于其兩個推廣形式給出一些結(jié)果.記d(n;r1,q1,r2,q2)為滿足n=n1n2,ni≡ri(mod qi) (i=1,2)的分解個數(shù).假定x≥(q1q2)1+ε, 1≤Ti≤qi,(ri,qi)=1(i=1,2),令△(x;r1,q1,r2,q2)為d(n;r1,q1,r2,q2)的和函數(shù)的余項.本文給出了 △(x;r1,q1,r2,q2)的均值和符號變換的一些估計,并證明了存在一個充分大的常數(shù)C,對于任意一個非常大的常數(shù)T,△(q1q2x;x;r1,q1,r2,q2)在區(qū)間[T,T+C(?)]內(nèi)變號,同時,對于一個非常小的常數(shù)c',區(qū)間[T,2T]內(nèi)存在無窮多個長度為c(?)log-1T的小區(qū)間,使得±△(q1q2x;r1,q1,r2,q2)c5x1/4恒成立.記S(x;a1/q1,a2/q2)=∑'mn≤xcos(27πma1/q1)sin(27πna2/q2),其中x≥(q1q2)1+ε,1≤ai≤qi,(ai,qi =1 (i = 1,2).通過將其與帶同余條件的除數(shù)函數(shù)相聯(lián)系,我們得到它的上界及一些均值估計.在此基礎(chǔ)上,我們又對S(x;a1/q1,a2/q2)的符號變換做出估計,證明存在一個充分大的常數(shù)C,對于任意一個非常大的常數(shù)T,S(x;a1/q1,a2/q2)在區(qū)間[T,T+C(?)]內(nèi)變號,同時,對于一個非常小的常數(shù)c',區(qū)間[T,2T]內(nèi)存在無窮多個長度為c(?)log-7T的小區(qū)間,使得±S(t;a1/q1,a2/q2)c5(q1q2)3/4t1/4總成立.
[Abstract]:The Dirichlet divisor function d (n) = (?) 1, and its sum function is D (x) = (?) d (n).) They are very important arithmetic functions in number theory and are closely related to many famous problems. In this paper, we give some results about its two generalizations. Let d (n ~ (1) n ~ (2) be considered as the number of decomposition. Suppose x 鈮，

本文編號：2328061