【摘要】：常微分方程是數(shù)學(xué)的一個重要分支,不僅在物理、工程、生物、氣象學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域有重要的應(yīng)用,而且在幾何學(xué)、函數(shù)論、代數(shù)學(xué)、變分法、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、調(diào)和分析等數(shù)學(xué)重要分支的發(fā)展中一直起著重要的作用.常微分方程理論的建立、完善和發(fā)展,不但推動相關(guān)數(shù)學(xué)分支學(xué)科的蓬勃發(fā)展,同時也拓展了這些數(shù)學(xué)分支理論的研究范圍和方法.早在19世紀(jì)70年代,人們就發(fā)現(xiàn)只有極少數(shù)方程的解可以通過初等函數(shù)的表示出來,這使得人們不在完全專注于方程的具體求解,而是直接根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)探索所研究問題的解的一些性質(zhì),例如:解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性等,并直接導(dǎo)致了微分方程定性理論和幾何理論以及動力系統(tǒng)的建立、發(fā)展和完善.而對經(jīng)典的求解問題,人們更關(guān)注對實(shí)際問題的研究,而不是只專注于求一個系統(tǒng)或方程的精確解.譬如,由生活中的實(shí)際問題而歸結(jié)出來的數(shù)學(xué)理論模型,它常常是非線性或者高階的微分方程,并在此基礎(chǔ)上帶有非線性的邊界條件或者初始條件,而且有些問題的邊界形狀很復(fù)雜、不確定,針對這些問題來說大多數(shù)是求不出精確解的,另一方面,即使對有些方程能求得其精確解,但是精確解的表達(dá)形式過于復(fù)雜而不能應(yīng)用到實(shí)際問題中,因此人們便轉(zhuǎn)而尋求問題的近似解或者數(shù)值解,或者是二者的結(jié)合形式.為求微分方程的近似解,數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家們經(jīng)過許多年的共同努力,在對各種具體攝動問題的研究過程中,建立和發(fā)展了許多重要的技巧和方法,例如平均法、多尺度方法、匹配漸近展開法、伸縮坐標(biāo)法、WKB方法、中心流形方法等,這些方法統(tǒng)稱為攝動方法,其基本思想是把所研究問題的精確解用某個攝動展開式的前幾項表示.自上世紀(jì)中期以來,攝動方法迅速發(fā)展,并被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、天文學(xué)等自然學(xué)科的各個領(lǐng)域,并得到一些重要結(jié)果.但是人們也發(fā)現(xiàn)這些方法帶有一定的局限性,例如:多重尺度法不易確定時間尺度,匹配漸近展開法雖然既適用于線性問題又適用于非線性問題,但是邊界層的位置和厚度一般不易確定,同時還可能出現(xiàn)小參數(shù)的分?jǐn)?shù)次冪等,此外,還需要通過中間展開對內(nèi)部展開與外部展開進(jìn)行匹配等等.這樣尋找一種更為方便有效的方法來克服傳統(tǒng)懾動方法的局限性變得尤為重要.上世紀(jì)四十年代,Bethe等人在研究光子傳播問題時提出了經(jīng)典的重整化理論.Wilson應(yīng)用重整化群方法研究了量子場論和統(tǒng)計物理中的問題,并取得了重要的研究成果,基于這些成果他獲得了1982年的國際諾貝爾物理學(xué)獎,這更使得重整化群方法受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注.隨后Bricmont等人提出了電荷重整化、質(zhì)量重整化、耦合常數(shù)重整化以及波函數(shù)重整化等技巧,巧妙的克服了傳統(tǒng)攝動方法的局限性,把復(fù)雜奇異攝動問題轉(zhuǎn)的求解轉(zhuǎn)化為簡單的方程 重整化方程的求解問題.近年來,Chen,Goldenfeld和Oono發(fā)展并完善了重整化群方法,他們一方面研究了幾類重要的奇異攝動問題,得到了這些問題的一致有效的漸近展開式,另一方面探討了重整化群方法和經(jīng)典的奇攝動技巧之間的關(guān)系.眾所周知,哈密頓系統(tǒng)是一類非常重要的常微分方程,這類系統(tǒng)在眾多研究領(lǐng)域,尤其是在天體力學(xué)和物理學(xué)中有重要的應(yīng)用.自然地,重整化群方法也被應(yīng)用于哈密頓系統(tǒng)的相關(guān)問題研究.1998年,Yamaguchi和Nambu利用重整化群方法研究了一類兩個自由度的哈密頓系統(tǒng).他們證明了:如果哈密頓系統(tǒng)的二階重整群方程是哈密頓系統(tǒng),那么原哈密頓系統(tǒng)和重整化群方程都是可積的.具體來說,他們考慮如下的哈密頓系統(tǒng)ε是小參數(shù),勢能函數(shù)V(q_1,q_2)是q_1和q_2二次或三次齊次多項式,得到如下結(jié)果:定理0.1如果哈密頓系統(tǒng)(1)的二階重整群方程是哈密頓系統(tǒng),那么哈密頓系統(tǒng)(1)及其重整化群方程都是可積的.隨后,他們又進(jìn)一步考慮了勢能V(q_1,q_2)是解析函數(shù),且只含有的q_1和q_2偶次項的情形,得到如下結(jié)果:定理0.2哈密頓系統(tǒng)(1)的二階重整群方程是哈密頓系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)哈密頓系統(tǒng)(1)是可分的,即V(q_1,q_2)關(guān)于q_1和q_2是可分的.在本文中,我們將運(yùn)用重整化群方法研究一類兩個自由度哈密頓系統(tǒng).考慮如下哈密頓系統(tǒng)定理0.3哈密頓系統(tǒng)(2)的O(ε)階重整化群方程是本文的主要結(jié)果如下:本文的結(jié)構(gòu)如下:在第二章中,我們以單自由度哈密頓系統(tǒng)為例,簡要介紹重整化群方法.第三章中,我們首先導(dǎo)出一類兩個自由度哈密頓系統(tǒng)的重整化群方程,然后說明該方程是哈密頓系統(tǒng)。
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O175

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本文編號：2186343