本文選題：弱Galerkin有限元法 + 有限元方法　； 參考：《吉林大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：弱 Galerkin 有限元法(Weak Galerkin Finite Element Method)是一種求解偏微分方程的高效數(shù)值方法,是對經(jīng)典有限元方法的繼承和發(fā)展.最早由王軍平和葉秀在2011年提出,并用于求解二階橢圓問題.它與經(jīng)典有限元方法的不同之處在于定義了弱函數(shù),進(jìn)一步針對弱函數(shù)引入了弱微分(弱導(dǎo)數(shù),弱梯度,弱散度,弱旋度等)的概念,并將其應(yīng)用到變分形式中,然后對導(dǎo)出的變分形式進(jìn)行數(shù)值求解.弱Galerkin有限元法一經(jīng)提出,便受到了廣泛關(guān)注.經(jīng)過幾年的發(fā)展,它的內(nèi)容更加豐富,主要包括:弱Galerkin混合有限元的提出和穩(wěn)定子的引入,使得弱Galerkin有限元法應(yīng)用起來更加方便;雜交技術(shù)和自適應(yīng)技術(shù)的應(yīng)用,使得求解速度更快;將多尺度思想引入弱Galerkin有限元法,使得它能夠處理來自物理和工程領(lǐng)域的多尺度問題等.此外,隨著科研內(nèi)容的不斷完善,該方法能處理問題的類型也越來越多.研究者們已經(jīng)將弱Galerkin有限元法用于處理包括二階橢圓交界面問題,Bihar-monic方程求解問題,Helmholtz方程求解問題,Stokes方程求解問題,以及Maxwell方程求解問題等多個經(jīng)典問題.本文主要研究一維光柵衍射問題和Navier-Stokes方程的求解問題.并針對兩類問題各自的難點,給出一些處理技巧,設(shè)計相應(yīng)的弱Galerkin有限元格式.光柵衍射問題存在兩個難點:第一個難點是問題求解區(qū)域無界.如何對求解區(qū)域進(jìn)行截斷,并給出相應(yīng)的邊界條件將直接影響到計算結(jié)果.第二個難點是在交界面附近,電磁波的導(dǎo)數(shù)變化劇烈.經(jīng)典的有限元方法不能夠很好的模擬交界面附近的振蕩或跳躍.因此,尋找更加穩(wěn)定,精度更高的數(shù)值方法是十分必要的.對于第一個難點,在x1方向使用周期邊界條件,在x2方向引入透射邊界條件將區(qū)域截斷成矩形區(qū)域[0,Λ]×[-b,b].其中Λ表示x1方向的周期,b是一個正常數(shù).之后,在得到的有界區(qū)域上求如下Helmholtz方程(△α + k2)uα=，，0 在Ω 中,需要強調(diào)的是,uα在x1方向滿足周期邊界條件,在x2方向滿足透射邊界條件.周期邊界條件較自然,這里主要給出透射邊界條件,形式如下:其中,算子△α和Tj,j = 1,2分別在(3.3)和(3.8)中給出定義.針對光柵問題的第二個難點,我們采用帶穩(wěn)定子的弱Galerkin有限元法求解上述方程.穩(wěn)定子的引入使得弱Galerkin有限元法的解是弱連續(xù)的,用它來捕捉電磁波在光柵交界面附近的振蕩非常合適.基于上述討論,我們分別在理論分析和數(shù)值實驗上驗證了算法的可靠性.在理論上,對帶有透射邊界條件和周期邊界條件的弱Galerkin有限元格式進(jìn)行了細(xì)致的分析,給出了解的存在性,唯一性和收斂性的詳細(xì)證明,并導(dǎo)出了最優(yōu)收斂階,形式如下:定理令u∈Hm+1(Ω)和uh∈Vh分別代表方程(3.5)-(3.7)的真解和方程(3.15)的弱Galerκκin有限元解.設(shè)eh=Qhu-uh={ei,eb},并假設(shè)衍射問題的對偶問題有一個解ω∈H1+s其中s∈(0,1],那么存在一個常數(shù)h*0使得‖eh‖wh≤Chm‖u‖m+1,‖ei‖≤Chm+s‖u‖m+1,對任意的h∈(0,h*)均成立.現(xiàn)有關(guān)于弱Galerkin有限元法的收斂性分析多是針對Dirichlet邊界條件展開的,而對于帶透射邊界條件的理論結(jié)果還很有限.本文的研究在理論上豐富了弱Galerkin有限元法的內(nèi)容,對于其它類似的問題具有一定的參考價值.在數(shù)值方面,我們由簡入繁地對三個光柵衍射問題進(jìn)行了模擬,并從收斂性和光柵效率兩方面驗證算法的精度.關(guān)于收斂性,數(shù)值實驗結(jié)果表明,誤差關(guān)于‖·‖wh-范數(shù)和L2-范數(shù)分別達(dá)到了 1階和2階收斂速率,這與理論分析數(shù)據(jù)吻合.關(guān)于光柵效率,反射效率和透射效率之和穩(wěn)定在1左右,這與事實吻合.另外,我們還給出了主要衍射級的光柵效率以及復(fù)雜光柵具有高振蕩的電場強度函數(shù)圖像.通過對三個光柵問題的模擬,我們發(fā)現(xiàn)弱Galerkin有限元法在求解光柵衍射問題時有以下優(yōu)勢:(1)無論對于簡單光柵還是復(fù)雜光柵,該算法都非常穩(wěn)定,高效且具有高精度;(2)弱Galerkin有限元法的解是弱連續(xù)的,它能較好地模擬電磁波在光柵交界面附近的振蕩.Navier-Stokes方程是計算流體力學(xué)最主要的方程之一.在一個帶有Lipschitz邊值條件的有界區(qū)域Ω ∈R2內(nèi),不可壓粘性流可以由與速度u和壓力p相關(guān)的Navier-Stokes方程來描述,形式如下:ut-v%

本文編號：2071602