本文選題：量子圖 + 正則度量樹�。� 參考：《天津大學》2016年博士論文

【摘要】：度量圖上的微分算子是研究介觀物理與化學結構問題的抽象數(shù)學模型,在化學、粒子物理及納米技術等學科中應用十分廣泛.經(jīng)過近幾十年的發(fā)展,度量圖上微分算子理論已經(jīng)成為微分方程理論以及微分算子譜理論的重要組成部分.本文主要研究無窮度量圖上Sturm-Liouville算子的自伴性以及無窮正則度量樹上Sturm-Liouville算子的譜性質,全文分為六個部分,內容如下:第一章為緒論,介紹了度量圖上的微分算子的研究背景、研究現(xiàn)狀以及本文的主要工作.第二章介紹了本文所涉及的基本概念以及相關定理.第三章主要研究了三類局部頂點條件:系數(shù)矩陣秩為δ(v)的頂點條件、自伴頂點條件和J-自伴頂點條件.給出了這三類頂點條件的性質并且討論了它們分別確定的定義域所構成空間的幾何結構.當微分形式對稱時,給出了緊致度量圖上Sturm-Liouville算子的自伴條件和非緊致度量圖上Sturm-Liouville算子的Glazman-Povzner-Wienholtz型自伴條件.當微分形式J-對稱時,詳細描述了度量圖上局部Sturm-Liouville算子的J-伴隨算子及J-自伴擴張.第四章主要研究了無窮正則度量樹上帶有δ-型條件的Schr?dinger算子的自伴性及其譜性質.首先,給出了該算子的本質自伴判定條件,且證明了該算子酉等價于一列帶有轉移條件的輔助算子的直和.其次,構造了帶有轉移條件的輔助算子所對應的二次型,給出了輔助算子的Molchanov譜離散判定準則.基于樹上Schr?dinger算子與其輔助算子譜之間的關系,得到了樹上帶有δ-型條件的Schr?dinger算子譜純離散的充分必要條件.最后,根據(jù)二次型擾動的緊性,得到了樹上帶有δ-型條件的Schr?dinger算子本質譜穩(wěn)定的判定條件和負譜下半有界且離散的判定條件.第五章主要考慮了無窮正則度量樹上帶有δ'-型條件的Schr?dinger算子.因為該算子的定義域包含于直和空間(?),并不包含于樹上Sobolev空間(?),所以構造了一列帶有轉移條件的輔助算子及其所對應的二次型,并證明了一系列嵌入不等式,進而通過嵌入算子的緊性研究了樹上Schr?dinger算子譜的純離散性.所得結果將Molchanov離散譜判定準則推廣至具有轉移條件的Schr?dinger算子.基于樹上帶有δ'-型條件的Schr?dinger算子與輔助算子譜之間的關系得到了樹上帶有δ'-型條件的Schr?dinger算子譜純離散的充分必要條件和本質譜穩(wěn)定的判定條件.第六章討論了邊長下確界為0的無窮度量樹上Sturm-Liouville算子的自伴性及其譜性質.本章證明了樹上Sturm-Liouville算子酉等價于一列帶有轉移條件的輔助算子的直和,借助于這一列輔助算子,證明了樹上算子的自伴性.然后利用無窮區(qū)間覆蓋定理,證明了加權函數(shù)空間上的不等式,得到了帶有轉移條件的Sturm-Liouville算子譜離散的充分必要條件,進而得到了無窮度量樹上Sturm-Liouville算子的Molchanov離散準則。
[Abstract]:Differential operators on metric graphs are abstract mathematical models for studying mesoscopic physics and chemical structures. They are widely used in chemistry, particle physics and nanotechnology. With the development of recent decades, differential operator theory on metric graph has become an important part of differential equation theory and differential operator spectrum theory. In this paper, we study the self-adjoint of Sturm-Liouville operators on infinite metric graphs and the spectral properties of Sturm-Liouville operators on infinite metric trees. The whole paper is divided into six parts. The contents are as follows: the first chapter is an introduction, and introduces the research background of differential operators on metric graphs. The present situation of the research and the main work of this paper. The second chapter introduces the basic concepts and related theorems involved in this paper. In chapter 3, we study three kinds of local vertex conditions: the rank of coefficient matrix is 未 v), the self-adjoint vertex condition and the J-self-adjoint vertex condition. The properties of these three kinds of vertex conditions are given and the geometric structure of the space formed by the defined domain determined by them is discussed. The self-adjoint conditions for Sturm-Liouville operators on compact metric graphs and Glazman-Povzner-Wienholtz type self-adjoint conditions for Sturm-Liouville operators on non-compact metric graphs are given when differential forms are symmetric. When the differential form is J-symmetric, the J-adjoint operators and J-self-adjoint extensions of local Sturm-Liouville operators on metric graphs are described in detail. In chapter 4, we study the self-adjoint and spectral properties of Schrndinger operators with 未 -type conditions on infinite regular metric trees. Firstly, the essential self-adjoint condition of the operator is given, and it is proved that the operator is unitary equivalent to the direct sum of a series of auxiliary operators with transfer conditions. Secondly, the quadratic form of auxiliary operator with transfer condition is constructed, and the Molchanov spectrum discretization criterion of auxiliary operator is given. Based on the relationship between the Schrndinger operator and its auxiliary operator spectrum on a tree, a sufficient and necessary condition for the pure discretization of the Schrrdinger operator spectrum on a tree with 未 -type condition is obtained. Finally, according to the compactness of the quadratic perturbation, the conditions for the stability of the intrinsic mass spectrum of the Schrdinger operator with 未 -type condition on the tree and the semi-bounded and discrete conditions for the negative spectrum are obtained. In chapter 5, we consider Schrndinger operators with 未 -type conditions on infinite regular metric trees. Because the domain of the operator is contained in the direct sum space and not in the Sobolev space on the tree, a series of auxiliary operators with transfer conditions and their corresponding quadratic forms are constructed, and a series of embedding inequalities are proved. Furthermore, the pure discreteness of the spectrum of Schrndinger operators on the tree is studied by the compactness of embedding operators. The result extends the Molchanov discrete spectrum criterion to Schrndinger operator with transfer condition. Based on the relationship between Schrndinger operator with 未 -type condition and the spectrum of auxiliary operator on a tree, a sufficient and necessary condition for pure discretization of Schrndinger operator spectrum on a tree with 未 -type condition and a criterion for the stability of intrinsic mass spectrum are obtained. In chapter 6, we discuss the self-adjoint property and spectral properties of Sturm-Liouville operators on infinite metric trees with the lower bound of the edge length being 0. In this chapter, we prove that the Sturm-Liouville operator on a tree is unitary equivalent to the direct sum of a sequence of auxiliary operators with transfer conditions. With the aid of this set of auxiliary operators, we prove the self-adjoint property of the tree operators. Then, by using the infinite interval covering theorem, we prove the inequalities on the weighted function space, obtain the necessary and sufficient conditions for the spectral discretization of Sturm-Liouville operators with transfer conditions, and then obtain the Molchanov discretization criteria for Sturm-Liouville operators on infinite metric trees.
【學位授予單位】：天津大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O175.3

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本文編號：2048480