本文選題：間斷Galerkin有限元 + 誤差估計��； 參考：《哈爾濱理工大學(xué)》2017年碩士論文

【摘要】：間斷Galerkin有限元方法是一類使用允許完全間斷多項(xiàng)式空間作為有限元空間的高分辨率數(shù)值方法。因其具有可以達(dá)到任意階精度、容易實(shí)現(xiàn)h-p自適應(yīng)和能夠處理復(fù)雜計算區(qū)域等優(yōu)點(diǎn),在工程計算方面有著廣泛的應(yīng)用,所以對間斷Galerkin有限元方法的理論研究具有十分重要的意義。本文研究的三種發(fā)展型偏微分方程分別是變系數(shù)的線性雙曲守恒律方程、非線性對流擴(kuò)散方程和線性五階偏微分方程。主要討論了這三種方程的間斷Galerkin有限元解的誤差估計和超收斂性。針對變系數(shù)的線性雙曲守恒律方程,通過有限元分析的方法和構(gòu)造特殊的投影給出了使用迎風(fēng)型數(shù)值通量的間斷Galerkin有限元方法的誤差估計。本章最后的數(shù)值試驗(yàn)部分不僅驗(yàn)證了收斂階是最優(yōu)的,還觀察到相比于方程真解,數(shù)值解更加接近真解特殊投影這一超收斂性質(zhì)。為進(jìn)一步研究方程系數(shù)變號時的超收斂性指明了方向。而對于非線性對流擴(kuò)散方程,證明了對流項(xiàng)導(dǎo)數(shù)保號時,間斷Galerkin有限元解以高于誤差收斂階半階的速度超收斂于方程真解的Gauss-Radau投影。幾個算例也印證了理論的正確性,最后通過構(gòu)造誤差指示器展示了超收斂性的應(yīng)用。最后討論了線性五階方程局部間斷Galerkin有限元格式的誤差估計和超收斂性。本章采用了新思路選取試驗(yàn)函數(shù),得到了時間上線性增長的誤差和超收斂形式,說明局部間斷Galerkin有限元的數(shù)值解和真解的誤差在很長的時間內(nèi)都不會顯著增長,體現(xiàn)了局部間斷Galerkin有限元方法求長時間數(shù)值解時的優(yōu)越性。不過,通過數(shù)值試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),本章的超收斂階不是最優(yōu)的。
[Abstract]:The discontinuous Galerkin finite element method is a kind of high resolution numerical method which uses the fully discontinuous polynomial space as the finite element space. Because of its advantages of achieving arbitrary order accuracy, easy realization of h-p adaptation and ability to handle complex computing areas, it is widely used in engineering calculation. Therefore, the theoretical study of discontinuous Galerkin finite element method is of great significance. The three kinds of evolution partial differential equations studied in this paper are linear hyperbolic conservation law equation with variable coefficients, nonlinear convection-diffusion equation and linear fifth order partial differential equation. The error estimates and superconvergence of discontinuous Galerkin finite element solutions for these three equations are discussed. For the linear hyperbolic conservation law equation with variable coefficients, the error estimates of the discontinuous Galerkin finite element method using upwind numerical flux are given by means of finite element analysis and special projection. In the last part of this chapter, not only the convergence order is proved to be optimal, but also the superconvergence property that the numerical solution is closer to the special projection of the true solution than the true solution of the equation is observed. The direction of superconvergence is pointed out for the further study of the superconvergence when the coefficients of the equation are changed. For the nonlinear convection-diffusion equation, it is proved that the discontinuous Galerkin finite element solution superconverges to the Gauss-Radau projection of the true solution of the equation at a speed higher than the half-order of error convergence when the convection term derivative is signed. Several examples also prove the correctness of the theory. Finally, the application of superconvergence is demonstrated by constructing error indicator. Finally, the error estimates and superconvergence of locally discontinuous Galerkin finite element schemes for linear fifth order equations are discussed. In this chapter, a new idea is adopted to select the test function, and the error and superconvergence form of linear growth in time are obtained. It is shown that the error of numerical solution and true solution of locally discontinuous Galerkin finite element does not increase significantly in a very long period of time. The superiority of the local discontinuous Galerkin finite element method in solving the numerical solution of long time is demonstrated. However, numerical experiments show that the superconvergence order of this chapter is not optimal.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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本文編號：2015978