本文選題：自由邊界問題 + 連續(xù)時空有限元方法�。� 參考：《上海交通大學(xué)》2015年博士論文

【摘要】：自由邊界問題,是自由邊界需要和定解問題的解一起確定的問題,它在科學(xué)與工程領(lǐng)域有很廣泛的應(yīng)用.由于它是非線性問題,難以獲得解析解,因此數(shù)值模擬是研究自由邊界問題的重要手段.本文的核心是構(gòu)造和分析反Stefan問題和超導(dǎo)納米線單光子探測器熱電耦合模型的高效數(shù)值算法,并對所提算法進行數(shù)值模擬驗證其計算效率.首先,我們研究了求解拋物型方程初邊值問題的一類有限元方法的穩(wěn)定性估計.利用文獻[1]中的連續(xù)型時空有限元方法,對于帶Dirichlet邊界條件和混合邊界條件的拋物型方程初邊值問題獲得相應(yīng)的離散化方法.使用內(nèi)蘊的推導(dǎo)技巧,獲得了有限元解的H1(QT)-模估計.這個估計在拋物型方程反問題研究中有重要應(yīng)用,它也是我們分析后文提出的求解反Stefan問題數(shù)值方法解的存在性和收斂性的基礎(chǔ).其次,我們探討了求解反Stefan問題的基于虛擬Robin邊界條件的區(qū)域嵌入法.本文借鑒文獻[2]中的區(qū)域嵌入法思想,將邊界變動區(qū)域?(t)延拓到固定區(qū)域?,在虛擬邊界上引入Robin邊界條件,用新的函數(shù)q替代未知的自由邊界函數(shù)s(t)作為控制變量,將定義在邊界變動區(qū)域?(t)上的反Stefan問題描述為一個線性算子方程.考慮到該算子方程的不適定性,我們通過正則化方法將其轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題,在此基礎(chǔ)上使用連續(xù)型時空有限元方法實現(xiàn)最優(yōu)化問題的離散,從而獲得求解反Stefan問題的一個高效數(shù)值算法.證明了該方法連續(xù)情形和有限元情形問題解的存在唯一性,并證明了有限元解收斂到連續(xù)問題解.應(yīng)該指出的是文[2]雖然提出用區(qū)域嵌入法求解一維空間變量情形的反Stefan問題,但沒有給出任何理論分析結(jié)果.對于一維反Stefan問題,還構(gòu)造了一個時空有限元數(shù)值解法,該方法具有執(zhí)行簡便的優(yōu)點.通過一系列的數(shù)值實驗驗證了這些算法的有效性.最后,我們給出了超導(dǎo)納米線單光子探測器電熱耦合模型數(shù)值算法.這是一個關(guān)于溫度和電流的非線性自由邊界問題,由非線性拋物界面方程和二階常微分方程耦合而成.在這個模型中,超導(dǎo)納米線單光子探測器近似認為是一維結(jié)構(gòu),熱響應(yīng)是一個與納米線電流有關(guān)的非線性界面方程.就作者所知,還沒有系統(tǒng)的工作研究該模型的數(shù)值解法.在本文中,我們對于非線性拋物界面方程我們使用Crank-Nicholson和Implicit-Explicit兩種差分格式實現(xiàn)離散,而對于由二階常微分方程描述的電流方程,先將其表示為一階常微分方程組,然后利用梯形方法進行離散,最后通過打靶法和相變條件確定自由邊界位置.我們提供了一系列數(shù)值模擬結(jié)果來說明算法的有效性.
[Abstract]:Free boundary problem is a problem that needs to be determined together with the solution of a definite solution problem. It is widely used in the fields of science and engineering. Because it is a nonlinear problem, it is difficult to obtain an analytical solution, so numerical simulation is an important means to study the free boundary problem. The core of this paper is to construct and analyze the inverse Stefan problem and the high-efficient numerical algorithm for thermoelectric coupling model of superconducting nanowire single-photon detector. The numerical simulation of the proposed algorithm is carried out to verify its computational efficiency. First, we study the stability estimation of a class of finite element methods for solving the initial boundary value problem of parabolic equations. By using the continuous space-time finite element method in [1], the corresponding discretization method for the initial boundary value problem of parabolic equation with Dirichlet boundary condition and mixed boundary condition is obtained. In this paper, the H _ 1 Q _ (T) -norm estimation of the finite element solution is obtained by using the implicit derivation technique. This estimate has important applications in the study of inverse problems of parabolic equations. It is also the basis of the analysis of the existence and convergence of the solutions of numerical methods for inverse Stefan problems proposed later. Secondly, we discuss the domain embedding method based on virtual Robin boundary condition for solving anti-Stefan problem. In this paper, using the idea of region embedding method in [2], the boundary variable region is extended to the fixed region, and the Robin boundary condition is introduced on the virtual boundary. The new function Q is used to replace the unknown free boundary function st) as the control variable. The inverse Stefan problem defined on the boundary variable region is described as a linear operator equation. Considering the ill-posed operator equation, we transform it into an optimization problem by regularization method. On this basis, we use the continuous space-time finite element method to realize the discretization of the optimization problem. Thus an efficient numerical algorithm for solving inverse Stefan problem is obtained. The existence and uniqueness of the solution of the problem in the continuous case and the finite element case are proved, and it is proved that the finite element solution converges to the solution of the continuous problem. It should be pointed out that although the region embedding method is proposed to solve the inverse Stefan problem in the case of one-dimensional spatial variables in paper [2], no theoretical analysis results are given. For one dimensional inverse Stefan problem, a spatiotemporal finite element numerical method is also constructed, which has the advantages of simple execution. The validity of these algorithms is verified by a series of numerical experiments. Finally, a numerical algorithm for electrothermal coupling model of superconducting nanowire single photon detector is presented. This is a nonlinear free boundary problem for temperature and current, which consists of a nonlinear parabolic interface equation coupled with a second order ordinary differential equation. In this model, the superconducting nanowire single-photon detector is considered to be a one-dimensional structure, and the thermal response is a nonlinear interface equation related to the nanowire current. As far as the author knows, no systematic work has been done to study the numerical solution of the model. In this paper, we use Crank-Nicholson and Implicit-Explicit difference schemes to discretize the nonlinear parabolic interface equations. For the current equations described by the second order ordinary differential equations, we first express them as the first order ordinary differential equations. Then the trapezoidal method is used to discretize and the free boundary position is determined by the shooting method and the phase transition condition. We provide a series of numerical simulation results to illustrate the effectiveness of the algorithm.
【學(xué)位授予單位】：上海交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

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本文編號：1927868