本文選題：Sylvester矩陣方程 + T-Sylvester矩陣方程　； 參考：《哈爾濱工業(yè)大學》2017年博士論文

【摘要】：矩陣方程是一個重要的研究課題,在系統(tǒng)理論、自動控制、穩(wěn)定性理論和優(yōu)化理論等領域有著廣泛的應用。本文將圍繞Sylvester矩陣方程的相關問題進行研究。首先,研究了2可逆的交換環(huán)上的T-Sylvester矩陣方程的可解性問題。通過將問題轉(zhuǎn)化到Artin環(huán)上,構造兩個模并建立它們之間的映射來分析問題。推廣了復數(shù)域上Wimmer給出的關于T-Sylvester矩陣方程有解的充要條件。還討論了離散形式的T-Sylvester矩陣方程的可解性,給出了其存在解的充要條件。其次,研究了域上的一元多項式環(huán)F[λ]上的廣義Sylvester矩陣方程的可解性以及解的性質(zhì)。通過矩陣多項式的帶余除法將問題轉(zhuǎn)化為在低次的情形下討論域上的一元多項式環(huán)上的廣義Sylvester矩陣方程解的問題。利用矩陣張量積的相關技巧得到了多項式環(huán)上的廣義Sylvester矩陣方程有解的充要條件,使得問題轉(zhuǎn)化為未知參數(shù)的個數(shù)較少的新的方程。再次,研究了廣義Lyapunov算子的最大奇異值所對應奇異向量的對稱性。構造了反例,指出關于經(jīng)典的Lyapunov算子最大奇異值所對應奇異向量是對稱矩陣的現(xiàn)有證明是錯誤的,因此這仍是一個猜測。證明了在矩陣階數(shù)小于6的時候該猜測是正確的。對于廣義Lyapunov算子在矩陣的階數(shù)小于4時,證明了其最大奇異值所對應奇異向量可以取為對稱矩陣。而當矩陣的階數(shù)大于或等于4時,給出例子說明這并不總是成立的。最后,研究了離散型Lyapunov算子和廣義Lyapunov算子的最小奇異值所對應奇異向量的對稱性。在矩陣的階數(shù)不大于2的情形,廣義Lyapunov算子的最小奇異值所對應奇異向量總可以取為對稱矩陣。而當階數(shù)大于2時,給出例子說明這個奇異向量并不總是可以取為對稱矩陣。證明了,對于穩(wěn)定的矩陣對,廣義的Lyapunov算子的的最小奇異值所對應奇異向量總是可以取為對稱矩陣。
[Abstract]:Matrix equation is an important research subject, which has been widely used in the fields of system theory, automatic control, stability theory and optimization theory. In this paper, the related problems of Sylvester matrix equation are studied. Firstly, the solvability of T-Sylvester matrix equations over 2 invertible commutative rings is studied. The problem is analyzed by transforming the problem to a Artin ring, constructing two modules and establishing a mapping between them. In this paper, the necessary and sufficient conditions for T-Sylvester matrix equation to have solutions given by Wimmer on complex field are generalized. The solvability of discrete T-Sylvester matrix equations is also discussed, and the necessary and sufficient conditions for its existence are given. Secondly, the solvability and the properties of the generalized Sylvester matrix equation over a polynomial ring F [位] are studied. The problem is transformed into the solution of the generalized Sylvester matrix equation on the univariate polynomial ring over the domain in the case of low degree by the method of codivision of matrix polynomials. By using the technique of matrix tensor product, the sufficient and necessary conditions for the generalized Sylvester matrix equation over polynomial rings to have solutions are obtained, so that the problem can be transformed into a new equation with fewer unknown parameters. Thirdly, the symmetry of the singular vector corresponding to the maximum singular value of the generalized Lyapunov operator is studied. In this paper, we construct a counterexample and point out that the existing proof that the singular vector corresponding to the maximum singular value of the classical Lyapunov operator is a symmetric matrix is wrong, so this is still a conjecture. It is proved that the conjecture is correct when the order of the matrix is less than 6. When the order of a generalized Lyapunov operator is less than 4, it is proved that the singular vector corresponding to its maximum singular value can be regarded as a symmetric matrix. When the order of a matrix is greater than or equal to 4, an example is given to show that this is not always true. Finally, the symmetry of singular vector corresponding to the minimum singular value of discrete Lyapunov operator and generalized Lyapunov operator is studied. When the order of a matrix is not greater than 2, the singular vector corresponding to the minimum singular value of the generalized Lyapunov operator can always be taken as a symmetric matrix. When the order is greater than 2, an example is given to show that the singular vector can not always be taken as a symmetric matrix. It is proved that the singular vector corresponding to the minimum singular value of the generalized Lyapunov operator can always be taken as a symmetric matrix for a stable pair of matrices.
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.6

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