本文選題：指數(shù)積分 + B-級(jí)數(shù)　； 參考：《上海師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：指數(shù)積分方法是求解半線(xiàn)性常微分方程初值問(wèn)題的一類(lèi)有效數(shù)值方法,其運(yùn)算量主要體現(xiàn)在求解指數(shù)類(lèi)矩陣函數(shù)與向量乘積的線(xiàn)性組合上本文考慮構(gòu)造靈活的指數(shù)積分方法求解右端項(xiàng)F由剛性項(xiàng)f和非剛性項(xiàng)g組成的非線(xiàn)性常微分方程初值問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)于科學(xué)和工程應(yīng)用中,像機(jī)械設(shè)計(jì)、分子動(dòng)力學(xué)、海洋學(xué)等等,典型的例子包括反應(yīng)擴(kuò)散方程和Navier-Stokes方程.當(dāng)f和9具有不同特征的時(shí)候,一個(gè)自然的想法就是利用它們的特殊結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)有效的數(shù)值方法.雖然一般的指數(shù)積分方法可以直接應(yīng)用到線(xiàn)性化的系統(tǒng)(1),但卻忽略了系統(tǒng)的特殊結(jié)構(gòu).本文介紹針對(duì)系統(tǒng)(1)的靈活指數(shù)積分格式,利用B-級(jí)數(shù)理論和雙色樹(shù)理論提取了數(shù)值格式的級(jí)數(shù)(TB-級(jí)數(shù))型表達(dá)形式,給出了提取一般階條件的遞推關(guān)系式,進(jìn)而構(gòu)造了若干具體的數(shù)值積分格式,并在解析半群的理論框架下對(duì)數(shù)值格式進(jìn)行了收斂性分析.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn),我們驗(yàn)證了各個(gè)格式的數(shù)值階和理論階是完全一致的.進(jìn)一步的數(shù)值比較表明,在求解剛性或震蕩微分方程方面,所構(gòu)造的數(shù)值格式在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面能夠超過(guò)一些流行的指數(shù)積分格式,展示出了一定的計(jì)算潛力.考慮到指數(shù)類(lèi)矩陣函數(shù)與向量的乘積在指數(shù)積分的實(shí)施中扮演的重要作用,本文的另一個(gè)工作重心就是求解形如的指數(shù)類(lèi)矩陣函數(shù)與向量乘積的線(xiàn)性組合.這類(lèi)表達(dá)式是指數(shù)積分格式中的標(biāo)準(zhǔn)形式,指數(shù)積分方法的實(shí)施過(guò)程,本質(zhì)上就是在每個(gè)時(shí)間步求解若干個(gè)形如(2)的表達(dá)式,其計(jì)算效率直接決定了指數(shù)積分方法的計(jì)算效率.關(guān)于這類(lèi)問(wèn)題的有效求解也是近年來(lái)數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).本文的第四、五兩章內(nèi)容主要致力于構(gòu)造有效的算法計(jì)算問(wèn)題(2).在第四章,針對(duì)大型稀疏型矩陣A介紹了基于塊的Krylov子空間方法整體求解(2).通過(guò)塊Arnoldi/Lanczos子空間約化原始問(wèn)題,我們構(gòu)造了一個(gè)單個(gè)的低階矩陣指數(shù)來(lái)逼近初始問(wèn)題,該方法避免了分別計(jì)算每一個(gè)指數(shù)類(lèi)矩陣函數(shù)與向量的乘積,因而能減少計(jì)算工作量.我們對(duì)算法進(jìn)行了向前誤差分析,提取了算法的誤差級(jí)數(shù)展式,該展式與Saad利用單向量的標(biāo)準(zhǔn)Krylov子空間方法求解eAb0時(shí)給出的誤差展式具有相似的形式.利用該誤差展式的第一項(xiàng),我們介紹了兩個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì),進(jìn)而構(gòu)造了具有更高精度的修正格式.為了避免算法在運(yùn)行中過(guò)程中生成的子空間維數(shù)過(guò)大,造成存儲(chǔ)和計(jì)算困難,我們進(jìn)一步結(jié)合時(shí)間步思想,發(fā)展了基于時(shí)間步的塊Krylov子空間方法.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,該時(shí)間步方法能完成較高的計(jì)算精度,其計(jì)算效率能超過(guò)一些典型算法,像ode45,ode15s以及phipm方法.在第五章,針對(duì)大型剛性矩陣A,介紹了求解問(wèn)題(2)的預(yù)條件塊Krylov子空間方法.剛性矩陣常常來(lái)自橢圓形偏微分方程或半扇形算子的空間離散,它們不僅是病條件的,而且具有很大的范數(shù),標(biāo)準(zhǔn)的Krylov子空間方法求解這類(lèi)問(wèn)題通常是低效的,甚至是無(wú)效的,而一些有理的子空間方法往往能降低矩陣的條件數(shù),起到預(yù)處理的效果.我們介紹整個(gè)算法的構(gòu)造過(guò)程,提取了算法的誤差級(jí)數(shù)展式,給出了三個(gè)具有不同特點(diǎn)的后驗(yàn)誤差估計(jì)和三個(gè)緊湊的修正格式,數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了這些誤差估計(jì)是有效的,能夠準(zhǔn)確地反應(yīng)真實(shí)誤差的變化特點(diǎn),修正格式也能獲得高的計(jì)算精度.一系列的數(shù)值比較表明,對(duì)于剛性矩陣,特別是當(dāng)p較大的時(shí)候,我們方法的計(jì)算效率能明顯地超過(guò)近些年文獻(xiàn)中的一些典型算法.
[Abstract]:An effective numerical method for solving the initial value problem of semi - linear ordinary differential equations is presented in this paper . The error series expansion of the algorithm is extracted , three posterior error estimates with different characteristics and three compact correction formats are presented . The numerical experiments show that these error estimates are effective and can accurately reflect the variation characteristics of real errors . The numerical results show that the computational efficiency of the method can be significantly more than some typical algorithms in recent years for the rigid matrix , especially when p is larger .

【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類(lèi)號(hào)】：O151.21

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)博士學(xué)位論文 前2條

1 呂慧;計(jì)算大規(guī)模稀疏矩陣函數(shù)乘向量的Krylov子空間算法[D];清華大學(xué);2014年

2 牛強(qiáng);大規(guī)模矩陣特征值及線(xiàn)性系統(tǒng)的Krylov子空間算法研究[D];廈門(mén)大學(xué);2008年

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本文編號(hào)：1773679