本文選題：Euler-Maclaurin展式　切入點：奇異積分　出處：《電子科技大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：奇異積分與奇異積分方程廣泛地出現(xiàn)于數(shù)學(xué)物理、流體力學(xué)、斷裂力學(xué)、電磁力學(xué)、化學(xué)、生物工程和石油工程等諸多學(xué)科和工程的數(shù)學(xué)模型中.由于這些數(shù)學(xué)模型大多是由實際問題轉(zhuǎn)化而來的,要想達到對實際問題估算的目的,計算奇異積分以及求解奇異積分方程就成為研究數(shù)學(xué)模型的重要內(nèi)容.本文主要介紹奇異積分以及奇異積分方程的數(shù)值算法.本文主要研究了以下幾個方面的內(nèi)容:1.簡要介紹了邊界元方法及其優(yōu)點、奇異積分與奇異積分方程的研究背景和意義以及含Volterra型算子的積分方程的研究背景和意義三方面的內(nèi)容.2.研究了計算超奇異積分的數(shù)值方法.在積分算子的奇異點為被積區(qū)間內(nèi)任意一點的情況下,推導(dǎo)了該類超奇異積分的誤差漸近展式(Euler-Maclaurin展式)以及求積公式.根據(jù)該誤差漸近展式以及求積公式的特點,推導(dǎo)了相應(yīng)求積公式的外推公式,并給出了相應(yīng)公式的誤差估計式.3.研究了混合奇異積分的數(shù)值算法.該類混合奇異積分是指包含超奇異性和對數(shù)奇異性兩種奇異類型的積分.依據(jù)超奇異積分的Euler-Maclaurin展式關(guān)于參數(shù)的解析性質(zhì),推得該類混合奇異積分的Euler-Maclaurin展式,還得到了對數(shù)奇異積分的誤差漸近展式.4.提出了平面定常Stokes方程的數(shù)值解方法.通過應(yīng)用單層位勢理論和Stokes方程基本解的方法,將平面定常Stokes方程轉(zhuǎn)化為第一類的邊界積分方程.該類積分方程是具有對數(shù)奇異性的奇異積分方程,該類積分方程求解的數(shù)值方法分以下兩種情況討論:一種情況是積分邊界為光滑閉曲線Γ時,給出了奇異積分方程的機械求積法、誤差漸近展式以及機械求積法的Richardson外推公式,并由誤差漸近展式得到機械求積法的誤差估計式.另一種情況是積分邊界為分片光滑閉曲線Γ=∪_(m=1)~dΓ_m(即曲線所圍區(qū)域是多角域)時,給出了奇異積分方程的機械求積方法、多變量近似誤差展式以及分裂外推公式,同時還由多變量近似誤差展式得到了機械求積法的后驗誤差估計.機械求積法(MQM)的收斂性由Anselone的聚緊收斂理論及漸近緊理論給予了證明.5.介紹了第二類非線性的Volterra弱奇異積分方程的數(shù)值解方法.當?shù)诙惙蔷�性的Volterra奇異積分方程滿足Lipshitz條件時,應(yīng)用Gronwall不等式和Laplace變換及其反演變換方法,證明了該類奇異積分方程解的存在唯一性.還給出了求解該類奇異積分方程的數(shù)值方法(修正的梯形求積法)以及其外推方法,同時還給出相應(yīng)公式的誤差估計式.
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【學(xué)位授予單位】：電子科技大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.83

【參考文獻】

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本文編號：1726156