本文選題：反應(yīng)擴(kuò)散方程　切入點(diǎn)：平衡態(tài)　出處：《陜西師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：自然科學(xué)的發(fā)展很大程度上依賴于物理、化學(xué)、生命科學(xué)等方面的進(jìn)展情況,這些具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)化對(duì)它們的進(jìn)一步研究是很重要的.許多數(shù)學(xué)模型可以歸為反應(yīng)擴(kuò)散模型.近幾十年來(lái),反應(yīng)擴(kuò)散模型的研究已取得了很大進(jìn)展.隨著研究的不斷深入,反應(yīng)擴(kuò)散模型被廣泛用來(lái)探討大量的帶有擴(kuò)散的動(dòng)力系統(tǒng)。本文利用非線性分析和非線性偏微分方程理論研究了兩類反應(yīng)擴(kuò)散模型的動(dòng)力學(xué)行為.研究的主要內(nèi)容包括模型平衡態(tài)正解的先驗(yàn)估計(jì)、不存在性、存在性(分歧結(jié)構(gòu))、唯一性、穩(wěn)定性和漸進(jìn)行為.所涉及的主要數(shù)學(xué)理論有最大值原理、能量方法、隱函數(shù)定理、分歧理論、拓?fù)涠壤碚�、穩(wěn)定性理論、正則化理論、擾動(dòng)理論以及Lyapunov-Schmidt約化方法.本文內(nèi)容包括以下三個(gè)方面:第一章首先介紹帶有Degn-Harrison反應(yīng)項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散模型和帶有交叉擴(kuò)散和保護(hù)區(qū)域的Leslie捕食食餌模型的研究背景及研究現(xiàn)狀,然后介紹本文的主體工作.第二章考慮了一類帶有Degn-Harrison反應(yīng)項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散模型.非常數(shù)正解的一些基本性質(zhì)首先被得到,然后,研究了 ODE和PDE系統(tǒng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性.同時(shí),我們的結(jié)果表明:如果反應(yīng)器的體積或是有效擴(kuò)散系數(shù)足夠大時(shí),系統(tǒng)不存在非常數(shù)正解.最后,利用簡(jiǎn)單特征值處的分歧理論得到了簡(jiǎn)單特征值處分歧曲線的全局結(jié)構(gòu),同時(shí),利用Lyapunov-Schmidt約化方法和隱函數(shù)定理得到了雙重特征值處分歧曲線的局部結(jié)構(gòu).第三章分析了一類帶有保護(hù)區(qū)域和交叉擴(kuò)散的Leslie捕食-食餌模型正解行為的變化.首先分析了保護(hù)區(qū)域和交叉擴(kuò)散對(duì)正解分歧曲線結(jié)構(gòu)的影響.而且,研究了當(dāng)某些參數(shù)充分大或充分小時(shí),模型正解的漸近行為.最后,當(dāng)兩物種的自身生長(zhǎng)率充分小和交叉擴(kuò)散系數(shù)充分大時(shí),正解的詳細(xì)結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性被建立.我們的結(jié)果表明:空間非均勻性和交叉擴(kuò)散能夠產(chǎn)生更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,而且,這些結(jié)果明顯不同與Lotka-Volterra模型的結(jié)論。
[Abstract]:The development of natural science depends to a large extent on the progress of physics, chemistry, life sciences, etc. The mathematics of these specific problems is very important for their further study. Many mathematical models can be classified as reaction-diffusion models. In recent decades, great progress has been made in the study of reaction-diffusion models. The reaction-diffusion model is widely used to study a large number of dynamic systems with diffusion. In this paper, the dynamic behaviors of two kinds of reaction-diffusion models are studied by using nonlinear analysis and nonlinear partial differential equation theory. A priori estimate of the positive solution of the equilibrium state of the model is included. Nonexistence, existence (bifurcation structure, uniqueness, stability and asymptotic behavior.) the main mathematical theories involved are maximum principle, energy method, implicit function theorem, bifurcation theory, topological degree theory, stability theory, Regularization theory, Perturbation theory and Lyapunov-Schmidt reduction method. The main contents of this paper are as follows: in Chapter 1, the background and research status of the Reaction-Diffusion Model with Degn-Harrison reaction term and the Leslie Predator-prey Model with Cross Diffusion and Protection region are introduced. In chapter 2, we consider a class of reaction-diffusion models with Degn-Harrison reaction term. The stability of constant steady-state solutions of ODE and PDE systems is studied. At the same time, our results show that if the reactor volume or effective diffusion coefficient is large enough, there is no non-constant positive solution in the system. By using the bifurcation theory of simple eigenvalues, the global structure of bifurcation curves at simple eigenvalues is obtained. By using Lyapunov-Schmidt reduction method and implicit function theorem, the local structure of bifurcation curves at double eigenvalues is obtained. In chapter 3, the change of positive solution behavior of a class of Leslie predator-prey model with protected region and cross diffusion is analyzed. The influence of protected region and cross diffusion on the structure of forward bifurcation curve is analyzed. The asymptotic behavior of the positive solution of the model is studied when some parameters are sufficiently large or small. Finally, when the growth rate of the two species is sufficiently small and the cross-diffusion coefficient is sufficiently large, The detailed structure and stability of the positive solutions have been established. Our results show that the spatial inhomogeneity and cross-diffusion can produce more complex dynamic behaviors, and these results are obviously different from the conclusions of the Lotka-Volterra model.
【學(xué)位授予單位】：陜西師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O175

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本文編號(hào)：1690752