發(fā)布時間：2018-03-31 08:31

  本文選題：變系數(shù)KdV方程族　切入點：雙線性形式B?cklund變換　出處：《渤海大學》2017年碩士論文

【摘要】：隨著孤子理論研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)中完全可積的方程都存在孤子解。近幾十年來出現(xiàn)了許多求孤子方程精確解的方法,如:反散射方法、Hirota雙線性方法、B?cklund變換(BT)等。其中反散射方法、Hirota雙線性方法對孤子理論的發(fā)展起著不可磨滅的作用,人們發(fā)現(xiàn)能用反散射法求精確解的方程也能用BT求解。Hirota雙線性方法屬于構(gòu)造性求解,這種求解法不依附于方程的Lax對或者譜問題,具備簡便、直接的特點。相對而言,BT可以由求出的一個解可以利用關(guān)系式直接寫出另一個解,進而獲得許多新解,但難點在于找出其中的變換關(guān)系式。學者們通過研究發(fā)現(xiàn)了雙線性形式的BT,使求解更簡單明了。近幾年來人們愈加關(guān)注分數(shù)階問題,精確求解分數(shù)階方程比較難,仍處于初始階段。本文的主要工作概括如下:首先,從Schr?dinger線性譜問題及其時間發(fā)展式(即Lax對)出發(fā),利用本征函數(shù)的相容性條件,通過引入有限多個只與時間有關(guān)的任意函數(shù),推出一個新的Lax可積變系數(shù)KdV族。同時得到變系數(shù)KdV族中一個變系數(shù)KdV方程的雙線性形式BT,基于找到的BT,得到這個變系數(shù)KdV方程的單孤子解、雙孤子解、三孤子解,進而歸納出n孤子解。其次,通過利用分離變量法和Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì)求解一類變系數(shù)Caputo時間-分數(shù)階類熱-波動方程的初邊值問題,最終得到此變系數(shù)時間-分數(shù)階類熱-波動方程新精確解的一個統(tǒng)一表達式。為進一步確定所求得的精確解,考慮了三個帶有初邊值條件的具體類熱-波動方程,并分別得到其精確解,所獲得的精確解包括一些已知解為特例。研究結(jié)果表明,變量分離法可以用來求解科學與工程中的一些其他時間-分數(shù)階類熱-波動方程。
[Abstract]:With the further study of soliton theory, it has been found that soliton solutions exist in completely integrable equations in nonlinear systems. In recent decades, there have been many methods for finding exact solutions of soliton equations, such as backscattering method and Hirota bilinear method. The inverse scattering method plays an indelible role in the development of soliton theory. It is found that the equation which can be solved accurately by backscattering method can also be solved by BT bilinear method. This method is not dependent on the Lax pair or spectral problem of the equation, and has the characteristics of simplicity and directness. But the difficulty lies in finding out the transformation relation. Through the research, the scholars have found the bilinear form of BTT, which makes the solution more simple and clear. In recent years, people pay more attention to the fractional order problem, and it is difficult to solve the fractional order equation accurately. The main work of this paper is summarized as follows: first, from Schr? The dinger linear spectrum problem and its time evolution (i.e. Lax pair) are discussed. By introducing finite number of arbitrary functions related only to time, by using the compatibility condition of eigenfunctions, A new Lax integrable variable coefficient KdV family is derived. At the same time, a bilinear form of the variable coefficient KdV equation in the KdV family is obtained. Based on the obtained KdV equation, the single soliton solution, double soliton solution and three soliton solution of the KdV equation are obtained. Secondly, by using the method of separating variables and the properties of Mittag-Leffler function, we solve the initial boundary value problem of a class of Caputo time-fractional thermo-wave equations with variable coefficients. Finally, a unified expression for the new exact solution of the time-fractional thermo-wave equation with variable coefficients is obtained. In order to further determine the exact solution obtained, three specific thermo-wave equations with initial boundary conditions are considered. The exact solutions obtained include some known solutions as special cases. The results show that the method of variable separation can be used to solve some other time-fractional thermo-wave equations in science and engineering.
【學位授予單位】：渤海大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O175

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本文編號：1689944