本文選題：第二類Fredholm積分方程　切入點：Fisher方程　出處：《海南師范大學(xué)》2016年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：隨著信息科技與經(jīng)濟的快速發(fā)展,現(xiàn)實生活中的許多物理現(xiàn)象所涉及到的數(shù)學(xué)問題大多都化為對積分方程和微分方程的求解問題,但是這些方程的解析解我們很難得到,于是需要利用計算機技術(shù)來求其數(shù)值解.常用的數(shù)值求解方法有差分變換法、Runge-Kutta法、有限元法等.這些常用的數(shù)值方法在求具有規(guī)則的、光滑性的解的方程時有很好的效果,但是這些數(shù)值解法尤其獨特的優(yōu)點的同時,也存在著不足,如在求解具有奇異性解的方程時,這些方法就顯得力不從心.隨著小波分析的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)小波所具有的良好的時頻局部化特征,以及其具有正交性、消失矩、緊支撐性等良好的性質(zhì),使得以小波函數(shù)作為基函數(shù)來求解積分方程和微分方程的數(shù)值解是可行的和有效的,給數(shù)值計算帶來了方便.本文主要研究小波在積分方程和微分方程的數(shù)值解方面的應(yīng)用.主要完成了以下工作:(1)介紹了小波分析的發(fā)展和應(yīng)用,以及積分方程和微分方程的小波數(shù)值解法的研究進展.(2)簡單闡述了小波分析的基本理論,包括小波的定義,連續(xù)小波變換、離散小波變換及其重構(gòu)公式、小波多分辨分析以及與之相關(guān)的重要定理.(3)重點介紹分片多項式小波的構(gòu)造方法.首先利用壓縮映射以及小波的多分辨分析的性質(zhì)和小波的正交性,在有界區(qū)域上構(gòu)造分片多項式小波,然后利用Legendre多項式和小波的正交性得到分片線性多項式小波和分片二次多項式小波的顯式表達式.顯式表達式的給出為我們的數(shù)值計算帶來了極大的方便.(4)利用分片多項式小波求第二類Fredholm積分方程組和Fisher方程的小波數(shù)值解.首先將分片線性多項式小波作為基函數(shù),采用函數(shù)逼近的方法將第二類Fredholm積分方程組中的未知函數(shù)進行函數(shù)逼近,通過函數(shù)逼近可將第二類Fredholm積分方程組離散為關(guān)于分片線性多項式小波系數(shù)的代數(shù)方組,最后通過求解離散后的代數(shù)方程組從而求得第二類Fredholm積分方程組的小波數(shù)值解.同時,利用分片二次多項式小波作為基函數(shù)采用函數(shù)逼近將Fish-er方程中的微分算子進行函數(shù)逼近,然后采用配置法將Fisher方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于分片二次多項式小波系數(shù)的代數(shù)方程組,最后利用計算機編程可求得Fisher方程的小波數(shù)值解.最后的數(shù)值例子表明,本文的小波方法是可行的和有效的.
[Abstract]:With the rapid development of information technology and economy, the mathematical problems involved in many physical phenomena in real life are mostly reduced to solving integral equations and differential equations, but the analytical solutions of these equations are difficult to obtain. So we need to use computer technology to find its numerical solution. The commonly used numerical methods are the difference transformation method Runge-Kutta method, the finite element method and so on. These commonly used numerical methods have very good effect in solving the equation with regular and smooth solution. However, while these numerical methods have special advantages, they also have some disadvantages. For example, in solving equations with singular solutions, these methods seem to be unable to do the same. With the development of wavelet analysis, It is found that wavelet has good time-frequency localization characteristics, and it has good properties such as orthogonality, vanishing moment, compact support, etc. So that it is feasible and effective to use wavelet function as the basis function to solve the numerical solutions of integral equations and differential equations. This paper mainly studies the application of wavelet in the numerical solution of integral equation and differential equation. The main work is as follows: 1) the development and application of wavelet analysis are introduced. The basic theory of wavelet analysis, including the definition of wavelet, continuous wavelet transform, discrete wavelet transform and its reconstruction formula, is briefly described. The construction of piecewise polynomial wavelets is introduced in detail. Firstly, by using the properties of compression mapping and wavelet multi-resolution analysis and the orthogonality of wavelets, we introduce the method of constructing piecewise polynomial wavelets. The piecewise polynomial wavelets are constructed on the bounded domain. Then the explicit expressions of piecewise linear polynomial wavelets and piecewise quadratic polynomial wavelets are obtained by using the orthogonality of Legendre polynomials and wavelets. The piecewise polynomial wavelets are used to solve the Fredholm integral equations of the second kind and the wavelet numerical solutions of the Fisher equations. Firstly, the piecewise linear polynomial wavelets are taken as the basis functions. The unknown functions of the second kind of Fredholm integral equations are approximated by the method of function approximation. The second kind of Fredholm integral equations can be discretized into algebraic groups of wavelet coefficients of piecewise linear polynomials by function approximation. Finally, by solving the discrete algebraic equations, the wavelet numerical solution of the second kind of Fredholm integral equations is obtained. At the same time, the differential operators in the Fish-er equation are approximated by the piecewise quadratic polynomial wavelet as the basis function. Then the Fisher equation is transformed into algebraic equations about piecewise quadratic polynomial wavelet coefficients by collocation method. Finally, the wavelet numerical solution of Fisher equation can be obtained by computer programming. The wavelet method in this paper is feasible and effective.
【學(xué)位授予單位】：海南師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8

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本文編號：1625374