發(fā)布時間：2018-03-17 14:29

  本文選題：光波導　切入點：亥姆霍茲方程　出處：《浙江大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：以物理中的光波導為背景,數(shù)學上,本文分別對無界變系數(shù)亥姆霍茲方程的模式求解問題及反散射問題的數(shù)值算法兩類問題進行了研究。第一類問題,對于緩變光波導,本文推導得到了使用完美匹配層(perfectly matched layer,簡稱PML)邊界的TM模式下傳播常數(shù)滿足的三角矩陣近似的色散方程；進一步地,對一般的光波導,本文得到了使用PML邊界的TE和TM模式下全矩陣近似的高精度的色散方程。另外,本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式,當求解這兩種模在大模(|β|較大)時的高精度解時,它們可以作為使用牛頓迭代法高精度求解色散方程時的初始值。對于另一類問題,反介質(zhì)的重建問題,本文給出了較好的數(shù)值反演算法。具體地說,對于無界的光波導,本文使用PML邊界條件將無界問題有界化。由于討論的是波導非均勻的情況,所以使用了微分轉移矩陣來推導芯層的轉移矩陣。本文首先推導了TM模式的微分轉移矩陣,并對該微分轉移矩陣進行積分,對積分后的形式進行矩陣指數(shù)運算。但是因為指數(shù)運算難以給出簡單明確的表達式,所以對波導緩變的情況,本文使用上、下三角矩陣近似微分轉移矩陣,最終推導得到了PML邊界下TM模式的兩個三角矩陣近似的色散關系,并對波導的大模情況,本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式。因為在波導模式的分析中,相對于小模,高精度求解大模要困難得多,所以使用牛頓法求解泄漏模和Berenger模的高精度解時,它們的漸近解可以作為迭代初始值。在另一個研究工作中,為了進一步提高特征值的精度,本文不對微分轉移矩陣進行任何近似,直接對其積分,并對積分后的形式進行矩陣變換,然后近似地進行矩陣指數(shù)的計算,最終結合PML邊界條件,推導得到了特征模式(傳播模、泄漏模、Berenger模)滿足的全矩陣近似的高精度的解析的色散關系。這個色散關系對一般折射率連續(xù)變化且可導的波導都適用,不在局限于緩變波導的情況。而且,在一定的條件下,可以精確地計算矩陣指數(shù),此時上面得到的高精度的色散關系變?yōu)榫_的色散關系。對于波導中的反介質(zhì)重建問題,基于已有的理論方法,本文給出了一種有效的反演數(shù)值算法。首先對于每一個固定的入射頻率,使用數(shù)值搜索和牛頓迭代,得到了一系列高精度的特征值。其次使用多頻信息,結合理論表達式的特點,建立了規(guī)模相對小的線性系統(tǒng)。最后通過分析奇異值的分布情況,主要使用奇異值分解,迭代正則化等技術對線性系統(tǒng)進行正則化反演求解。數(shù)值實驗部分對復雜程度不同的雜質(zhì)(含有低頻到高頻傅里葉模式的雜質(zhì))進行數(shù)值驗證,結果表明本文提出了一個較好的反演數(shù)值算法。
[Abstract]:The optical waveguide in the physics background of mathematics, numerical algorithms to solve the problem of unbounded model Helmholtz equations with variable coefficients and the inverse scattering problem of the two kinds of problems are studied. First, the slow light waveguide, is presented in this paper using the perfect matching layer (perfectly matched layer, referred to as PML) the dispersion equation of triangular matrix constants satisfy the approximate boundary of the TM communication mode; further, the optical waveguide in general, this paper obtained the high precision dispersion using the PML boundary of the TE and TM mode full matrix approximation process. In addition, this paper gives the asymptotic analysis of leakage mode and Berenger mode solution formula and when solving these two kinds of modules in the module (| beta | larger) high precision solutions, they can be used as the initial use of the Newton iterative method with high accuracy for solving dispersion equation of value. For another kind of problem, inverse medium heavy This paper gives the construction problem, numerical inversion algorithm better. Specifically, the optical waveguide is unbounded, this paper use the PML boundary conditions will bounded unbounded problem. Because the discussion is non uniform waveguide, transfer matrix are used to derive the differential transfer matrix of the core layer. The paper deduced the differential TM mode transfer matrix, and the integral of the differential transfer matrix, the matrix calculation of the integral form of the index. But because the expression index is difficult to give a clear and simple operation, so the waveguide slowly changed, this paper use, lower triangular matrix approximate differential transfer matrix, finally deduced dispersion relation two triangular matrix TM model under PML boundary approximation, and mode of the waveguide, this paper gives the asymptotic analysis of the leakage mode and Berenger mode solution formula. Because in the analysis of waveguide mode in, Yu Xiaomo, high precision solution mode is much more difficult, so the high accuracy using Newton method to solve the leakage mode and Berenger mode solution, the asymptotic solutions can be used as the initial value of iteration. In another study, in order to further improve the accuracy of the eigenvalues, the transfer matrix of any differential approximation. The direct integral, and matrix transformation of the integral of the form, and then calculate approximate matrix index, finally combined with PML boundary condition, derived characteristic patterns (propagation mode, leaky mode, Berenger mode) can satisfy the dispersion relation of full matrix approximation with high accuracy. The analytical dispersion relation of the general index are applicable and can guide the continuous variation of rate of waveguide, is not confined to a slowly varying waveguide. Moreover, under certain conditions, we can accurately calculate the index matrix, the above obtained high precision The dispersion relation becomes the exact dispersion relation for inverse medium waveguide reconstruction problem, based on the existing theories and methods, this paper presents an effective numerical inversion algorithm. Firstly, for each fixed incident frequency, using numerical search and Newton iteration, we obtained a series of high precision eigenvalues. Second use multi frequency information, combined with the characteristics of the theoretical formula, a linear system is relatively small. Finally, through the analysis of the distribution of the singular value, using singular value decomposition, iterative regularization techniques such as regularization to solve the linear system. The numerical experiments of impurities of different complexity (with low frequency to high frequency Fourier model the impurity) was verified, the results show that the proposed a better numerical inversion algorithm.

【學位授予單位】：浙江大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.8

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本文編號：1625158