本文選題：光波導(dǎo)　切入點(diǎn)：亥姆霍茲方程　出處：《浙江大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：以物理中的光波導(dǎo)為背景,數(shù)學(xué)上,本文分別對(duì)無(wú)界變系數(shù)亥姆霍茲方程的模式求解問(wèn)題及反散射問(wèn)題的數(shù)值算法兩類問(wèn)題進(jìn)行了研究。第一類問(wèn)題,對(duì)于緩變光波導(dǎo),本文推導(dǎo)得到了使用完美匹配層(perfectly matched layer,簡(jiǎn)稱PML)邊界的TM模式下傳播常數(shù)滿足的三角矩陣近似的色散方程；進(jìn)一步地,對(duì)一般的光波導(dǎo),本文得到了使用PML邊界的TE和TM模式下全矩陣近似的高精度的色散方程。另外,本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式,當(dāng)求解這兩種模在大模(|β|較大)時(shí)的高精度解時(shí),它們可以作為使用牛頓迭代法高精度求解色散方程時(shí)的初始值。對(duì)于另一類問(wèn)題,反介質(zhì)的重建問(wèn)題,本文給出了較好的數(shù)值反演算法。具體地說(shuō),對(duì)于無(wú)界的光波導(dǎo),本文使用PML邊界條件將無(wú)界問(wèn)題有界化。由于討論的是波導(dǎo)非均勻的情況,所以使用了微分轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)推導(dǎo)芯層的轉(zhuǎn)移矩陣。本文首先推導(dǎo)了TM模式的微分轉(zhuǎn)移矩陣,并對(duì)該微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行積分,對(duì)積分后的形式進(jìn)行矩陣指數(shù)運(yùn)算。但是因?yàn)橹笖?shù)運(yùn)算難以給出簡(jiǎn)單明確的表達(dá)式,所以對(duì)波導(dǎo)緩變的情況,本文使用上、下三角矩陣近似微分轉(zhuǎn)移矩陣,最終推導(dǎo)得到了PML邊界下TM模式的兩個(gè)三角矩陣近似的色散關(guān)系,并對(duì)波導(dǎo)的大模情況,本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式。因?yàn)樵诓▽?dǎo)模式的分析中,相對(duì)于小模,高精度求解大模要困難得多,所以使用牛頓法求解泄漏模和Berenger模的高精度解時(shí),它們的漸近解可以作為迭代初始值。在另一個(gè)研究工作中,為了進(jìn)一步提高特征值的精度,本文不對(duì)微分轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行任何近似,直接對(duì)其積分,并對(duì)積分后的形式進(jìn)行矩陣變換,然后近似地進(jìn)行矩陣指數(shù)的計(jì)算,最終結(jié)合PML邊界條件,推導(dǎo)得到了特征模式(傳播模、泄漏模、Berenger模)滿足的全矩陣近似的高精度的解析的色散關(guān)系。這個(gè)色散關(guān)系對(duì)一般折射率連續(xù)變化且可導(dǎo)的波導(dǎo)都適用,不在局限于緩變波導(dǎo)的情況。而且,在一定的條件下,可以精確地計(jì)算矩陣指數(shù),此時(shí)上面得到的高精度的色散關(guān)系變?yōu)榫_的色散關(guān)系。對(duì)于波導(dǎo)中的反介質(zhì)重建問(wèn)題,基于已有的理論方法,本文給出了一種有效的反演數(shù)值算法。首先對(duì)于每一個(gè)固定的入射頻率,使用數(shù)值搜索和牛頓迭代,得到了一系列高精度的特征值。其次使用多頻信息,結(jié)合理論表達(dá)式的特點(diǎn),建立了規(guī)模相對(duì)小的線性系統(tǒng)。最后通過(guò)分析奇異值的分布情況,主要使用奇異值分解,迭代正則化等技術(shù)對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行正則化反演求解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分對(duì)復(fù)雜程度不同的雜質(zhì)(含有低頻到高頻傅里葉模式的雜質(zhì))進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證,結(jié)果表明本文提出了一個(gè)較好的反演數(shù)值算法。
[Abstract]:The optical waveguide in the physics background of mathematics, numerical algorithms to solve the problem of unbounded model Helmholtz equations with variable coefficients and the inverse scattering problem of the two kinds of problems are studied. First, the slow light waveguide, is presented in this paper using the perfect matching layer (perfectly matched layer, referred to as PML) the dispersion equation of triangular matrix constants satisfy the approximate boundary of the TM communication mode; further, the optical waveguide in general, this paper obtained the high precision dispersion using the PML boundary of the TE and TM mode full matrix approximation process. In addition, this paper gives the asymptotic analysis of leakage mode and Berenger mode solution formula and when solving these two kinds of modules in the module (| beta | larger) high precision solutions, they can be used as the initial use of the Newton iterative method with high accuracy for solving dispersion equation of value. For another kind of problem, inverse medium heavy This paper gives the construction problem, numerical inversion algorithm better. Specifically, the optical waveguide is unbounded, this paper use the PML boundary conditions will bounded unbounded problem. Because the discussion is non uniform waveguide, transfer matrix are used to derive the differential transfer matrix of the core layer. The paper deduced the differential TM mode transfer matrix, and the integral of the differential transfer matrix, the matrix calculation of the integral form of the index. But because the expression index is difficult to give a clear and simple operation, so the waveguide slowly changed, this paper use, lower triangular matrix approximate differential transfer matrix, finally deduced dispersion relation two triangular matrix TM model under PML boundary approximation, and mode of the waveguide, this paper gives the asymptotic analysis of the leakage mode and Berenger mode solution formula. Because in the analysis of waveguide mode in, Yu Xiaomo, high precision solution mode is much more difficult, so the high accuracy using Newton method to solve the leakage mode and Berenger mode solution, the asymptotic solutions can be used as the initial value of iteration. In another study, in order to further improve the accuracy of the eigenvalues, the transfer matrix of any differential approximation. The direct integral, and matrix transformation of the integral of the form, and then calculate approximate matrix index, finally combined with PML boundary condition, derived characteristic patterns (propagation mode, leaky mode, Berenger mode) can satisfy the dispersion relation of full matrix approximation with high accuracy. The analytical dispersion relation of the general index are applicable and can guide the continuous variation of rate of waveguide, is not confined to a slowly varying waveguide. Moreover, under certain conditions, we can accurately calculate the index matrix, the above obtained high precision The dispersion relation becomes the exact dispersion relation for inverse medium waveguide reconstruction problem, based on the existing theories and methods, this paper presents an effective numerical inversion algorithm. Firstly, for each fixed incident frequency, using numerical search and Newton iteration, we obtained a series of high precision eigenvalues. Second use multi frequency information, combined with the characteristics of the theoretical formula, a linear system is relatively small. Finally, through the analysis of the distribution of the singular value, using singular value decomposition, iterative regularization techniques such as regularization to solve the linear system. The numerical experiments of impurities of different complexity (with low frequency to high frequency Fourier model the impurity) was verified, the results show that the proposed a better numerical inversion algorithm.

【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.8

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本文編號(hào)：1625158