本文關(guān)鍵詞： 聲波傳輸問(wèn)題 DtN算子 有限元方法 傳輸特征值問(wèn)題 C~0內(nèi)罰間斷伽遼金法　出處：《重慶大學(xué)》2016年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

【摘要】：時(shí)諧聲波傳輸問(wèn)題和傳輸特征值問(wèn)題在實(shí)際科學(xué)和工程領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。傳輸特征值能用來(lái)估計(jì)散射體材料的性質(zhì),并且在逆散射理論中對(duì)于證明解的唯一性和重構(gòu)有著重要的作用。本論文主要研究聲波傳輸問(wèn)題和傳輸特征值問(wèn)題的數(shù)值方法。本文主要由兩部分組成:第一部分關(guān)于聲波傳輸問(wèn)題的數(shù)值方法;第二部分關(guān)于傳輸特征值問(wèn)題的數(shù)值方法。對(duì)于聲波傳輸問(wèn)題,最常用的處理無(wú)界區(qū)域的方法是邊界積分方程方法及其與有限元方法的耦合,比如Hsiao和Xu用邊界積分方程方法處理無(wú)界區(qū)域的計(jì)算(Hsiao and Xu,2011)。為了應(yīng)用有限元方法求解此類(lèi)問(wèn)題,最常用的方法是通過(guò)引入一個(gè)包含障礙物的人工邊界將無(wú)界區(qū)域分解為一個(gè)有界區(qū)域和一個(gè)無(wú)界區(qū)域。我們根據(jù)人工邊界外聲波滿(mǎn)足的散射問(wèn)題,分別利用傅里葉級(jí)數(shù)和邊界積分算子定義了兩個(gè)不同的Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子。接著,通過(guò)在人工邊界上引入DtN算子,可以將原無(wú)界傳輸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的非局部邊值問(wèn)題。在適當(dāng)?shù)乃鞑蟹蚩臻g下,證明了相應(yīng)的變分問(wèn)題解的存在唯一性。對(duì)于聲波傳輸特征值問(wèn)題,為了避免直接計(jì)算非自伴特征值問(wèn)題,我們將原傳輸特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一系列自伴的四階特征值問(wèn)題。接著,提出了用拉格朗日元的C~0內(nèi)部懲罰間斷伽遼金(C~0 IPG)方法去研究四階特征值問(wèn)題。由于低階項(xiàng)對(duì)離散算子范數(shù)收斂性的影響,不能直接應(yīng)用Babu?ka-Osborn理論證明收斂性。為了克服這個(gè)困難,根據(jù)Descloux等人在(Descloux et al,1978a)中發(fā)展起來(lái)的收斂性理論以及Antonietti等人用DG方法求Laplace特征值問(wèn)題的思想(Antonietti et al,2006),我們首先證明了C~0 IPG方法是譜正確的,接著證明了其最優(yōu)收斂性。而對(duì)于原傳輸特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化的一個(gè)等價(jià)的非自伴的四階特征值問(wèn)題,我們給出了離散四階傳輸特征值問(wèn)題的C0 IPG方法,并證明了C~0 IPG方法最優(yōu)收斂階。對(duì)于高階橢圓問(wèn)題,相比于經(jīng)典的協(xié)調(diào)有限元方法,C0 IPG方法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單,因?yàn)樗幕瘮?shù)簡(jiǎn)單并且有更少的自由度。對(duì)于每一種提出的數(shù)值方法,我們給出一些數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證方法的有效性和準(zhǔn)確性。
[Abstract]:The time-harmonic acoustic wave propagation problem and the propagation eigenvalue problem are widely used in practical scientific and engineering fields. The transmission eigenvalues can be used to estimate the properties of scattering materials. And in the inverse scattering theory, it plays an important role in proving the uniqueness and reconstruction of the solution. In this paper, we mainly study the numerical methods of acoustic wave transmission problem and transmission eigenvalue problem. This paper mainly consists of two parts: the first part. The numerical method of acoustic wave transmission; The second part deals with the numerical method of transmitting eigenvalue problem. For acoustic wave transmission problem, the most commonly used method to deal with the unbounded region is the boundary integral equation method and its coupling with the finite element method. For example, Hsiao and Xu use the boundary integral equation method to deal with the computation of unbounded region. The most commonly used method is to decompose the unbounded region into a bounded region and an unbounded region by introducing an artificial boundary containing an obstacle. Two different Dirichlet-to-Neumann-DtN operators are defined by using Fourier series and boundary integral operators, respectively. Then, by introducing DtN operators on artificial boundaries, The original unbounded transmission problem can be transformed into an equivalent nonlocal boundary value problem. The existence and uniqueness of the solution of the corresponding variational problem are proved in the appropriate Soberlev space. In order to avoid directly computing the non-self-adjoint eigenvalue problem, we transform the original transmission eigenvalue problem into an equivalent series of self-adjoint fourth-order eigenvalue problems. In this paper, the fourth order eigenvalue problem is studied by using the Lagrangian C0 internal penalty discontinuous Galerkin C0 IPG method. Because of the influence of low order terms on the convergence of discrete operator norm, Babu? Ka-Osborn theory proves convergence. In order to overcome this difficulty, according to the convergence theory developed by Descloux et al in Descloux et al1978a and the idea of Antonietti et al. to solve Laplace eigenvalue problem by DG method, we first prove that the C0 IPG method is spectral correct. Then we prove its optimal convergence. For an equivalent non-self-adjoint fourth-order eigenvalue problem transformed from the original transmission eigenvalue problem, we give a C0 IPG method for discrete fourth-order transmission eigenvalue problem. It is proved that the optimal convergence order of the C0 IPG method is simpler than that of the classical concordant finite element method (C0 IPG) for higher order elliptic problems. Because its basis function is simple and has less degree of freedom, we give some numerical examples to verify the validity and accuracy of the proposed numerical method.
【學(xué)位授予單位】：重慶大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類(lèi)號(hào)】：O241.82

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本文編號(hào)：1515599