本文關鍵詞： Bergman空間 Toeplitz算子 小Hankel算子 乘積 交換性 擬齊次　出處：《大連理工大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：函數空間上的算子理論是線性算子理論中十分活躍并引起廣泛關注的分支之一,這是因為算子理論中許多深層次的問題都可以模型化為具體的函數空間上的、由具有某些特殊性質的函數所誘導出的算子的相應問題.人們通過對這些“具體”算子的研究來揭示“抽象”算子的內在性質.Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子作為算子理論中的一個重要分支,近半個世紀以來,得到了廣大學者的關注.一方面,它們與函數論和算子理論中的諸多經典問題密切相關,如不變子空間問題.另一方面,它們在量子力學、控制理論、小波分析等學科中有著十分重要的應用.關于這兩種算子的研究對探索算子理論乃至線性算子的結構及其應用將會產生積極的作用,同時也將會促進算子理論與代數、幾何、拓撲等領域的融合.本文主要研究了單位圓盤調和Bergman空間上以擬齊次函數為符號Toeplitz算子和小Hankel算子的交換性、乘積問題,以及單位球多重調和Bergman空間上以擬齊次和分別擬齊次函數為符號的Toeplitz算子的交換性、乘積等問題.第一章主要介紹Hardy空間、Bergman空間、調和Bergman空間上Toeplitz算子和Hankel算子等相關背景知識,以及關于Toeplitz算子和Hankel算子的有界性、緊性、有限秩、交換性、乘積等方面的研究歷史和研究現(xiàn)狀.第二章主要在單位圓盤調和Bergman空間上,利用Mellin變換,研究了以徑向和擬齊次函數為符號的Toeplitz算子和小Hankel算子的代數性質,解決了擬齊次Toeplitz算子和擬齊次小Hankel算子的乘積問題.同時,給出了擬齊次Toeplitz算子與小Hankel算子可交換的條件.第三章主要在單位球多重調和Bergman空間上,研究了以擬齊次函數和分別擬齊次函數為符號的Toeplitz算子的一些代數性質.首先給出了兩個以特殊分別擬齊次函數為符號的Toeplitz算子乘積為Toeplitz算子的條件.其次,討論了其一為分別擬齊次Toeplitz算子,其它為擬齊次Toeplitz算子的多個Toeplitz算子的零積問題,并且證明了與一個分別擬齊次Toeplitz算子乘積為零的Toeplitz算子只有平凡的形式.最后,得到了特殊擬齊次和分別擬齊次Toeplitz算子的交換性.
[Abstract]:The operator theory on the function space is one of the most active branches of the linear operator theory. This is because many deep problems in the operator theory can be modeled into the specific function space. The corresponding problems of operators induced by functions with some special properties are studied to reveal the intrinsic properties of "abstract" operators. The Toeplitz operators and Hankel operators on the Bergman space are regarded as computations. An important branch of subtheory, In the past half century, many scholars have paid close attention to them. On the one hand, they are closely related to many classical problems in function theory and operator theory, such as invariant subspace problems. On the other hand, they are used in quantum mechanics and control theory. Wavelet analysis and other disciplines have very important applications. The study of these two operators will play a positive role in exploring the structure and application of operator theory and linear operator, and will also promote the theory of operator, algebra, geometry, and so on. In this paper, we study the commutativity and product of Toeplitz operators and small Hankel operators with quasi homogeneous functions as sign on the unit disk harmonic Bergman space. The commutativity and product of Toeplitz operators with the sign of quasi homogeneous and quasi homogeneous functions on the unit sphere multiharmonic Bergman spaces are also discussed in the first chapter. Toeplitz operator and Hankel operator on harmonic Bergman space, and the boundedness, compactness, finite rank, commutativity of Toeplitz operator and Hankel operator. In chapter 2, the algebraic properties of Toeplitz operators and small Hankel operators with radial and quasi-homogeneous functions are studied by using Mellin transform on the unit disk harmonic Bergman space. The product problem of quasi homogeneous Toeplitz operators and quasi homogeneous small Hankel operators is solved. At the same time, the conditions under which quasi homogeneous Toeplitz operators and small Hankel operators can be exchanged are given. In this paper, we study some algebraic properties of Toeplitz operators with the signs of quasi homogeneous functions and quasi homogeneous functions respectively. Firstly, we give the conditions under which the product of two Toeplitz operators signed by special respectively quasi homogeneous functions are Toeplitz operators. In this paper, we discuss the zero product of several Toeplitz operators with quasi homogeneous Toeplitz operators and quasi homogeneous Toeplitz operators respectively, and prove that there is only a trivial form of Toeplitz operators with a zero product of a quasi homogeneous Toeplitz operator. The commutativity of special quasi homogeneous and respectively quasi homogeneous Toeplitz operators is obtained.
【學位授予單位】：大連理工大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O177

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本文編號：1495220