本文關(guān)鍵詞： 有理樣條插值 保單調(diào) 保正 保凸 應(yīng)變能 最優(yōu)化　出處：《安徽理工大學(xué)》2017年碩士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：插值是構(gòu)造簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù),使得所構(gòu)造的連續(xù)函數(shù)曲線能夠通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值法是數(shù)值逼近中最基本的方法,包括多項(xiàng)式插值、有理插值、埃爾米特插值、樣條插值和有理樣條插值等。其中多項(xiàng)式插值的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,便于進(jìn)行計(jì)算和理論分析,所以被廣泛用于函數(shù)逼近、數(shù)值微分和數(shù)值積分等問題。但是高次多項(xiàng)式插值,特別是等距節(jié)點(diǎn)的高次多項(xiàng)式插值容易出現(xiàn)Runge現(xiàn)象,這使得高次多項(xiàng)式插值的逼近效果不佳。有理插值比多項(xiàng)式插值的逼近效果好,在節(jié)點(diǎn)處近似導(dǎo)數(shù)的求取問題上引起許多學(xué)者的研究興趣。但是有理插值方法,如連分式插值方法會(huì)出現(xiàn)極點(diǎn)、不可達(dá)點(diǎn)以及逆差商不存在等問題。有理樣條插值有很好的逼近效果,不僅能避免出現(xiàn)極點(diǎn)、不可達(dá)點(diǎn)等,而且可以通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)來保持插值數(shù)據(jù)的單調(diào)性、凹凸性等。本文引入了曲線的應(yīng)變能。插值曲線的應(yīng)變能越小,曲線則越光順。因此要使有理樣條插值曲線滿足保形性要求,可以用最優(yōu)化理論,建立優(yōu)化模型來解最優(yōu)形狀參數(shù)和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值。文章是以形狀參數(shù)和插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為決策變量,以插值曲線應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù),以插值函數(shù)保形以及形狀控制參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零作為約束條件,建立優(yōu)化模型,求解獲得在曲線應(yīng)變能最小的情況下的最優(yōu)形狀參數(shù)。由于給定的插值數(shù)據(jù)可能具有單調(diào)性、凹凸性等性質(zhì),所以就有不同決策變量,目標(biāo)函數(shù)和約束條件,構(gòu)造出不同性質(zhì)的有理樣條插值曲線,通過計(jì)算選擇出適當(dāng)?shù)膮?shù)來保持插值數(shù)據(jù)的單調(diào)性、凹凸性等。給出的數(shù)值例子表明新方法能獲得光順的插值曲線。
[Abstract]:Interpolation is the construction of simple continuous function, so that the constructed continuous function curve can pass through all the given discrete data points. Interpolation is the most basic method in numerical approximation, including polynomial interpolation, rational interpolation. Hermite interpolation, spline interpolation and rational spline interpolation, among which polynomial interpolation is simple, easy to calculate and theoretical analysis, so it is widely used in function approximation. But the higher degree polynomial interpolation, especially the higher order polynomial interpolation of equidistant nodes, is easy to appear Runge phenomenon. This makes the approximation effect of higher degree polynomial interpolation not good. Rational interpolation is better than polynomial interpolation, and many scholars are interested in finding approximate derivatives at nodes. But rational interpolation methods. Such as continuous fraction interpolation method will appear pole, unreachable point and deficit quotient does not exist. Rational spline interpolation has a good approximation effect, not only can avoid the emergence of pole, non-reachable point and so on. Moreover, the monotonicity and convexity of interpolation data can be maintained by selecting appropriate parameters. In this paper, the strain energy of the curve is introduced. The smaller the strain energy of the interpolation curve is. The curve is more smooth, so to make the rational spline interpolation curve meet the requirements of shape preservation, we can use the optimization theory. In this paper, the derivative of shape parameter and interpolation function at the node is taken as decision variable, and the minimum strain energy of interpolation curve is taken as objective function. The optimization model is established based on the shape preserving of interpolation function and the fact that the shape control parameter and the derivative at the node are larger than zero. The optimal shape parameters are obtained when the strain energy of the curve is minimum. Because the given interpolation data may have monotonicity, concave convexity and other properties, there are different decision variables, objective functions and constraints. The rational spline interpolation curves with different properties are constructed and the proper parameters are selected by calculation to maintain the monotonicity and convexity of the interpolation data. Numerical examples are given to show that the new method can obtain fairing interpolation curves.
【學(xué)位授予單位】：安徽理工大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.3

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本文編號(hào)：1488506