發(fā)布時間：2018-01-30 14:09

  本文關(guān)鍵詞： Waring-Goldbach問題 圓法 幾乎相等問題 均值定理 素變數(shù)指數(shù)和　出處：《山東大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：Waring-Goldbach問題是堆壘數(shù)論研究中的經(jīng)典問題.這一問題試圖證明,當(dāng)變量個數(shù)充分大時,滿足局部同余條件的整數(shù)可以表示為素數(shù)的方冪之和.考慮一個自然數(shù)k和素數(shù)p,取τ=τ(k,p)為滿足pτ|k而pτ+1+k的整數(shù),并定義令R=R(k)=Πpγ,其中乘積取遍所有滿足(p-1)|k的素數(shù)p.1938年,華羅庚[11,12]首先研究了這一問題的非線性形式,并證明了當(dāng)s2k時,若n是充分大的滿足局部同余條件n三s(mod R)的自然數(shù),那么方程n=p1k+p2k+...+psk (1.1)有素數(shù)解pj.這里的同余條件是為了排除掉一些退化的解,在這些退化的解中,變量會被限制為k的素因子.幾乎相等素變量的Waring-Goldbach問題是對華羅庚定理的一種深化,這一問題要求華羅庚定理中的變量“幾乎相等”.具體的,取X=(n/s)1/k,我們試圖找到滿足條件|pj-X|≤Y的素數(shù)解,其中Y是相對于X非常小的實數(shù).也就是說,我們希望所有的素變量pj在其均值X附近極小的范圍Y中變動.顯然,Y的取值越小,素變量pj的選取范圍越小,問題的難度也就越大.我們可以通過以下兩個事實來對Y的取值范圍進行合理的猜想.一方面,1972年,Huxley [13]證明了關(guān)于小區(qū)間上素數(shù)分布的經(jīng)典結(jié)果.定義π(X)為不大于X的素數(shù)個數(shù).Huxley證明了,當(dāng)Y≥X7/12+ε時,小區(qū)間上有如下的素數(shù)分布：如果我們假設(shè)廣義黎曼猜想(GRH)成立,上述Y的取值范圍可以改進為Y≥Xl/2+ε.Huxley的結(jié)果反映了小區(qū)間上的素數(shù)的分布情況,并在很多涉及素數(shù)的數(shù)論問題中成為一個合理的限制.另一方面,1937年,Wright [53]在關(guān)于幾乎相等的整變量的Waring問題的研究中構(gòu)造了一個反例,從而證明了在幾乎相等的整變量的Waring問題中,相應(yīng)的Y的取值范圍的下界是Y=O(X1/2).另外,Deamen [6,7]在2010年證明了這一下界是可以取到的.因為Waring-Goldbach問題的解是Waring問題的解的子集,所以這一下界同樣適用于相應(yīng)的素變量問題.綜合以上兩點,我們可以合理的猜想Y的取值范圍的下界是Y=O(X1/2).為了表述方便,我們引進如下定義.我們稱指數(shù)△k,s是“容許的”,如果對所有滿足△△k,s的指數(shù)△,以及充分大的滿足n≡s (mod R)的正整數(shù)n,方程(1.1)都有滿足|pj-X|≤X1-Δ(1≤j≤s)的素數(shù)解.根據(jù)以上的分析,我們有0≤△k,�！�1/2.當(dāng)k≥2時,取整數(shù)tk為另取實數(shù)θk為本文的主要結(jié)果如下.定理1.1 設(shè)整數(shù)s和k分別滿足k≥2和s2tk.另取x=(n/s)1/k,ε0是任意小的正常數(shù).那么,對充分大的滿足n≡s(mod R)的自然數(shù)n,方程n=p1k+p2k+…+psk有滿足|pj-X|≤Xθk+ε(1≤j≤s)的素數(shù)解pj.這個定理指出,當(dāng)k≥2且s2tk時,指數(shù)△k,s=1/6是容許的.與以往的結(jié)果相比,這個指數(shù)得到了大幅的改進,且是一個一致的結(jié)果,不再隨著階k的增大而遞減.值得注意的是,當(dāng)我們假設(shè)廣義黎曼猜想(GRH)成立時,上述定理中二階的結(jié)果可以改進為△2,s=1/4是容許的,而1/4=1/2×1/2.因此,我們可以認為,這個結(jié)果在一定程度上完成了目標(biāo)的一半.另一方面,當(dāng)k較大時,這個定理所需的變量個數(shù)要小于以往的結(jié)果·我們需要O(k2)個變量,而以往此類問題需要O(2k)個變量.事實上,當(dāng)k≥5時,我們都可以減少所需的素數(shù)的個數(shù).我們希望能夠得到定理1.1關(guān)于更少變量的相似的結(jié)果,這涉及到Waring-Goldbach問題的例外集問題.當(dāng)Y≥1時,我們用Ek,s(N;Y)表示滿足以下條件的自然數(shù)n的個數(shù)：ⅰ.|n-N|≤kXk-1Y;ⅱ.n≡s(mod R)；iii.方程(1.1)沒有滿足|pj-(n/s)1/k|Y(1≤j≤s)的素數(shù)解pj.我們稱指數(shù)△k,s*是“半容許的”,如果對任意正實數(shù)△*,當(dāng)△*△k,s*時,存在ε0,使得Ek,s(N;Y)《xk-1-eεY.此時,對幾乎所有充分大的滿足n≡s(mod R)的正整數(shù)n,方程(1.1)都有滿足|pj-X|≤X1-Δ*(1≤j≤s)的素數(shù)解.對此,我們有如下定理.定理1.2 設(shè)整數(shù)s和k分別滿足k≥2和stk.另取X=(n/s)1/k,ε0是任意小的正常數(shù).那么,對幾乎所有的充分大的滿足n≡s(mod R)的自然數(shù)n(特別地,當(dāng)k=3且s=7時,還要同時滿足9十n),方程n=p1k+p2k+…+psk有滿足|pj-X|≤Xθk+ε(1≤j≤s)的素數(shù)解pj.注意,這里的額外條件“當(dāng)k=3且s=7時9+n”,是為了保證方程(1.1)存在模9的局部解.這個結(jié)果同樣大幅改進了以往的結(jié)果.事實上,我們證明了,當(dāng)k≥4且s1/2k(k+1)時,指數(shù)△k,s*=1/6總是半容許的.證明定理1.1和1.2的方法也可以應(yīng)用于其他問題.例如,我們可以用來改進定理1.2中蘊含的例外集的大小.本文中,我們以六個幾乎相等的素數(shù)的平方和為例,證明一個相當(dāng)強的例外集的估計.關(guān)于E2,6(N；Y),我們證明了如下定理.定理1.3 設(shè)Y≥X19/24+ε,其中ε是任意正實數(shù).那么,存在δ0,使得E2,6(N;Y)Y-1X1-δ.本文的證明主要使用經(jīng)典的Hardy-Littlewood方法.與以往的方法相比,本文有兩個創(chuàng)新點.第一個是給出了一個小區(qū)間上素變數(shù)指數(shù)和的2s次均值估計.當(dāng)s≥tk時,這一估計達到了理論上的最優(yōu)估計.我們利用這一估計,來替代以往證明中所使用的華羅庚引理.在第三章中,我們將通過Daemen[6,7]的Binomial Descent方法證明這個均值定理.第二個創(chuàng)新點是一個新的小區(qū)間上素變數(shù)指數(shù)和的估計.利用這個結(jié)果,即使我們在Hardy-Littlewood方法中取較小的主區(qū)間,仍然可以在余區(qū)間上得到非平凡的估計.這個估計同樣用到了Daemen的方法.證明同時還大量應(yīng)用了最近關(guān)于Vinogradov均值定理的研究.
[Abstract]:The Waring - Goldbach problem is one of the classical problems in the study of the theory of accumulation . This problem attempts to prove that when the number of variables is sufficiently large , the integers satisfying the local congruence conditions can be represented as the sum of the square powers of prime numbers . In this paper , we try to find out the following two facts : Y = O ( X1 / 2 ) . In other words , when Y 鈮，

本文編號：1476424