本文關(guān)鍵詞：交流異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

交流異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究

朱明　陳覺曉　貢俊　梅衛(wèi)東

　　【摘　要】　重新研究了交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，提出了用電流角密度法來(lái)研究異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型和用等效二相轉(zhuǎn)子電流來(lái)表達(dá)異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的方法，在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上推導(dǎo)得到簡(jiǎn)潔明了的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型。之后將仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，并以此來(lái)驗(yàn)證理論分析，得出了一些重要的結(jié)論。
　　【關(guān)鍵詞】　異步電機(jī)　數(shù)學(xué)模型　角密度　旋轉(zhuǎn)變換。

Research of Mathematical Model of Induction Motor

Zhu Ming　Zhen Juexiao
(Shanghai University,Shanghai 200072)
Gong Jun
(No.21 Research Institute under the Ministry of Electronics Industry,Shanghai 200233)
Mei Weidong
(Shanghai Applied Mathematics and Mechanical Research Institute,Shanghai 200072)

　　【Abstract】　The author reserches the mathematical model of induction motor by offering the method of current angle density and the equal two phase rotor current,and get the consise mathematical model of induction motor by deduction in the rotational coordinates system.Then,the results of emulation and experiment have been compared by the author to testify the theorical analysis.Finally,some important conclusions have been got.
　　【Keywords】　induction motor　mathematical model　angle density　rotating change

1 引　言
　　交流異步電機(jī)相對(duì)直流電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高、維護(hù)方便、造價(jià)低、易實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)行等特點(diǎn)，由于近年來(lái)電力電子技術(shù)、微電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)及控制理論的發(fā)展，交流傳動(dòng)系統(tǒng)已經(jīng)成為電力拖動(dòng)系統(tǒng)中的研究熱點(diǎn)。
　　但由于交流異步電機(jī)結(jié)構(gòu)的特殊性，電機(jī)輸入輸出及內(nèi)部變量之間的相互關(guān)系比較復(fù)雜，致使以現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的交流傳動(dòng)系統(tǒng)較直流傳動(dòng)系統(tǒng)要復(fù)雜，因此以現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的交流傳動(dòng)系統(tǒng)性能還不夠理想。
　　德國(guó)學(xué)者伯拉斯切克F.Blaschke于1971年提出了“感應(yīng)電機(jī)磁場(chǎng)定向的控制原理”，它以異步電機(jī)在轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的矢量控制系統(tǒng)。此模型從異步電機(jī)三相原始模型出發(fā)，經(jīng)坐標(biāo)變換而得。這一控制原理經(jīng)過(guò)實(shí)踐的不斷改進(jìn)，發(fā)展成現(xiàn)今的轉(zhuǎn)差型矢量控制系統(tǒng)、解耦控制系統(tǒng)等。它的出現(xiàn)使交流傳動(dòng)系統(tǒng)具有較好的靜動(dòng)態(tài)性能。但是它仍然存在著一些缺點(diǎn)：
　　(1) 數(shù)學(xué)模型的表達(dá)比較繁雜；
　　(2) 矢量控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能仍不盡如人意。
　　交流異步電機(jī)強(qiáng)烈的電樞反應(yīng)致使其內(nèi)部物理量在橫軸和縱軸方向強(qiáng)烈耦合，導(dǎo)致交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型要比直流電機(jī)復(fù)雜得多。但可以充分利用交流異步電機(jī)結(jié)構(gòu)比較對(duì)稱規(guī)則的特點(diǎn)，并選擇合適的中間狀態(tài)變量，最大限度地簡(jiǎn)化電機(jī)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式及輸入輸出變量與中間狀態(tài)變量之間的關(guān)系。
　　簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)模型便于對(duì)交流傳動(dòng)系統(tǒng)作更深入更本質(zhì)的研究，同時(shí)可以大大簡(jiǎn)化交流傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，提高交流傳動(dòng)系統(tǒng)的性能，從而使交流傳動(dòng)成為電力拖動(dòng)系統(tǒng)的主流。

2 交流異步電機(jī)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化
　　交流異步電機(jī)主要由帶齒槽的定子鐵芯、帶齒槽的轉(zhuǎn)子鐵芯、定子繞組、轉(zhuǎn)子繞組、外殼、端蓋、傳動(dòng)軸、軸承、接線盒等組成。在電機(jī)原理分析時(shí)最重要的五大部件是定轉(zhuǎn)子鐵芯、定轉(zhuǎn)子繞組以及氣隙。電機(jī)截面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　交流異步電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

　　異步交流電機(jī)內(nèi)部磁路由定子齒、定子軛、轉(zhuǎn)子齒、轉(zhuǎn)子軛、氣隙等組成，通過(guò)定子槽和轉(zhuǎn)子槽的磁通只是極少的一部分。
　　交流異步電機(jī)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，為把握系統(tǒng)的主要關(guān)系，有必要作出一些假定：
　　假設(shè)1　電機(jī)外形為圓柱體狀，即認(rèn)為電機(jī)是無(wú)限長(zhǎng)圓柱體中截取的一段，等效長(zhǎng)度為L(zhǎng)δ；
　　假設(shè)2　電機(jī)電磁場(chǎng)分布局限于由電機(jī)定子鐵芯外表面所界定的區(qū)域內(nèi)，忽略定子鐵芯以外空間電磁場(chǎng)的影響；
　　假設(shè)3　定子鐵芯為各向同性、分布均勻的圓筒狀線性鐵磁媒質(zhì)，轉(zhuǎn)子為各向同性、分布均勻的圓柱狀線性鐵磁媒質(zhì)，定子轉(zhuǎn)子同軸且等長(zhǎng)；
　　假設(shè)4　等效氣隙為徑向厚度均勻的圓筒狀線性媒質(zhì)，單邊徑向等效厚度為δδ，圓柱面中間半徑為Rδ；
　　假設(shè)5　電機(jī)轉(zhuǎn)子繞組均勻分布在整個(gè)氣隙中間的圓柱面上，圓周面上的電流只可以沿軸向流動(dòng)，端部電流可沿徑向流動(dòng)；
　　假設(shè)6　電機(jī)定子各相繞組以正弦方式分布在整個(gè)氣隙中間的圓柱面上，圓周面上的電流只可以沿軸向流動(dòng)，端部電流可沿周向流動(dòng)；
　　假設(shè)7　忽略電機(jī)鐵芯損耗，忽略其它雜散損耗；
　　假設(shè)8　定子漏感由鐵芯與電機(jī)相同但僅有定子繞組的等效部分產(chǎn)生；轉(zhuǎn)子漏感由鐵芯與電機(jī)相同但僅有轉(zhuǎn)子繞組的等效部分產(chǎn)生；電機(jī)定轉(zhuǎn)子繞組電阻為常數(shù)，電機(jī)定轉(zhuǎn)子繞組漏感為常數(shù)；
　　假設(shè)9　定轉(zhuǎn)子鐵芯的磁阻及磁壓降折算入等效氣隙中，即認(rèn)為定轉(zhuǎn)子鐵芯磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，主磁路等效氣隙磁導(dǎo)率為μδ，定子漏磁路等效氣隙磁導(dǎo)率為μ1，轉(zhuǎn)子漏磁路等效氣隙磁導(dǎo)率為μ2。
　　三相交流異步電機(jī)經(jīng)過(guò)上述假設(shè)簡(jiǎn)化為類似定轉(zhuǎn)子繞組為表面繞組的無(wú)齒槽交流異步電機(jī)，其結(jié)構(gòu)截面如圖2所示。

圖2　定轉(zhuǎn)子繞組為表面繞組的無(wú)齒槽交流異步電機(jī)

　　由上述九點(diǎn)假設(shè)可得到如下結(jié)論：
　　(1) 電機(jī)軸向分為主磁路、定子漏磁路、轉(zhuǎn)子漏磁路三個(gè)部分，每個(gè)部分其橫截面磁場(chǎng)的分布情況相同；
　　(2) 氣隙中的磁力線方向?yàn)樯渚�方向；
　　(3) 氣隙中磁場(chǎng)在周向呈正弦分布，每隔2π電角度磁場(chǎng)強(qiáng)度相等、方向相同，每隔π電角度磁場(chǎng)強(qiáng)度相等、方向相反。
　　由于交流異步電機(jī)電磁場(chǎng)分布在軸向上相同，電磁場(chǎng)的分布在徑向上僅僅考慮氣隙中的磁壓降，而在周向上的角分布是電磁場(chǎng)分布的主要特征，而且電機(jī)的電流電勢(shì)等也可以用周向上角分布的方法進(jìn)行研究。

3 二相交流異步電機(jī)在靜止坐標(biāo)系上的定子電流密度
3.1 定子各相電流
　　二相交流異步電機(jī)輸入電流為時(shí)間函數(shù)，并且各自獨(dú)立，即：

(1)

其中：I1＝I1(t),τ＝τ(t)；
3.2 定子繞組導(dǎo)體空間分布函數(shù)

(2)

其中：θ為電機(jī)電氣角度；
3.3 定子繞組相電流密度

(3)

式中：Kj為導(dǎo)體密度系數(shù)，單位：根/弧度；jX,jY為電流電氣角密度，簡(jiǎn)稱電流角密度或簡(jiǎn)稱電流密度，單位：安培/弧度。
3.4 定子繞組合成電流密度

(4)

可見，電流密度分布以同步速旋轉(zhuǎn)。

4 三相交流異步電機(jī)與二相交流異步電機(jī)的等效
4.1 定子各相電流
　　三相交流異步電機(jī)輸入電流為時(shí)間函數(shù)，即：

(5)

交流異步電機(jī)通常采用中點(diǎn)懸空的星形接法，則有：

iA(t)+iB(t)+iC(t)＝0

(6)

即三相電流僅兩相獨(dú)立，一相電流可通過(guò)另兩相計(jì)算得到，則三相電流亦可采用另一種形式表達(dá)：

(7)

4.2 定子繞組導(dǎo)體空間分布函數(shù)

(8)

4.3 定子繞組相電流密度

(9)

4.4 定子繞組合成電流密度

(10)

可見，中點(diǎn)懸空星形接法的三相交流異步電機(jī)通過(guò)

圖3　旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與靜止坐標(biāo)系

　　即：旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系與靜止坐標(biāo)系xy坐標(biāo)系原點(diǎn)重合、d軸與x軸夾角為γ，空間矢量與d軸夾角為

(14)

(15)

＝θ-γ

(16)

則有：

(17)

定子繞組合成電流密度

j1＝KjI1cos(

(20)

令：

(21)

則：

j1＝j(luò)1(

(23)

且：

(24)

(25)

式(24)、式(25)表明了二相電機(jī)定子電流與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上電流的關(guān)系。

同理：

(26)

(27)

式(26)、式(27)表明了二相電機(jī)定子電流與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上電流的關(guān)系。

6 交流異步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的物理方程
6.1 電機(jī)定子電流密度在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的分布

(28)

6.2 轉(zhuǎn)子繞組電流密度

(29)

6.3 定轉(zhuǎn)子繞組合成電流密度

(30)

6.4 主磁路等效氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度

(31)

取二次穿過(guò)氣隙對(duì)應(yīng)的夾角為π電角度，則有：

(32)

6.5 轉(zhuǎn)子漏磁路等效氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度

(33)

(34)

6.6 轉(zhuǎn)子繞組感應(yīng)電勢(shì)

(35)

(36)

(37)

6.7 轉(zhuǎn)子繞組漏感電勢(shì)

(38)

(39)

(40)

6.8 轉(zhuǎn)子繞組電壓方程

(41)

6.9 轉(zhuǎn)矩方程

(42)

(43)

將上述物理方程進(jìn)行歸納綜合得到：

(44)

(45)

令：

(46)

(47)

(48)

經(jīng)歸納整理得到交流異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

(49)

(50)

7 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系定向方式的選擇
　　在式(21)變換中，可通過(guò)λ的取值確定i1d,i1q的關(guān)系或通過(guò)i1d,i1q取值來(lái)確定λ的取值，即參考坐標(biāo)系選擇不同的定向方式可以得到不同的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式，通常以所得到的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式最簡(jiǎn)潔、物理意義明確、使用簡(jiǎn)便為原則。
　　旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系通常的定向方式有以下幾種：
　　(1) i1d＝0或i1q＝0；

(51)

　　(2) i1d＝i1q或i1d+i1q＝0；

(52)

　　(3) i2d＝0或i2q＝0；

(53)

　　(4) i2d＝i2q或i2d+i2q＝0；

(54)

　　(5) i1d+i2d＝0或i1q+i2q＝0；

(55)

　　(6) i1d+i2d＝i1q+i2q或i1d+i2d+i1q+i2q＝0。

(56)

　　這里介紹一種較為簡(jiǎn)潔的坐標(biāo)系定向方式：旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d軸定向在電機(jī)合成電流密度分布幅值上。

(57)

則：

(58)

則電機(jī)數(shù)學(xué)模型表達(dá)為：

(59)

　　該組方程形式簡(jiǎn)潔，狀態(tài)變量之間的關(guān)系明確。
　　在式(58)、(59)表達(dá)的電機(jī)的數(shù)學(xué)模型中定子電流和轉(zhuǎn)差為輸入量，電磁轉(zhuǎn)矩為輸出量，轉(zhuǎn)子電流幅值為狀態(tài)量。
　　異步電機(jī)轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)學(xué)模型狀態(tài)方程僅有二個(gè)狀態(tài)變量但存在一個(gè)變量與變量的乘法環(huán)節(jié)，輸出方程中也有一個(gè)乘法環(huán)節(jié)，從而導(dǎo)致了變量之間的強(qiáng)耦合關(guān)系，也導(dǎo)致了輸出與輸入之間的非線性關(guān)系。

8 交流異步電機(jī)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型
　　交流異步電機(jī)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型可以從動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型演化得到，穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，但對(duì)于求解電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型方程系數(shù)和求解電機(jī)的穩(wěn)態(tài)特性是很有用的。
　　當(dāng)保持I1(t),dτ/dt,ωR(t)各自為常數(shù)足夠長(zhǎng)時(shí)間后電機(jī)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。電機(jī)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型表達(dá)如下：

(60)

(61)

　　通過(guò)對(duì)電機(jī)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型分析可得，當(dāng)：

ω2＝ωmax＝±a

(62)

相同電流下電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩達(dá)到最大值：

(63)

　　在額定電流下通過(guò)對(duì)電機(jī)額定點(diǎn)轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速的測(cè)試和堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩的測(cè)試非常容易地計(jì)算出系數(shù)a,Kt。
　　通過(guò)電機(jī)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型計(jì)算可以得到交流異步電機(jī)各種穩(wěn)態(tài)特性，通過(guò)穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)求得交流異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型參數(shù)。

9 實(shí)驗(yàn)與數(shù)字仿真
　　對(duì)電機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)可得到電機(jī)的運(yùn)行性能曲線，與計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真曲線進(jìn)行比較，以研究模型的可信度。
　　通常進(jìn)行的電機(jī)試驗(yàn)是穩(wěn)態(tài)測(cè)試，可得到電機(jī)輸入與輸出之間的關(guān)系曲線，電機(jī)穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)接線如圖4所示：

圖4　電機(jī)試驗(yàn)接線圖

　　被試電機(jī)銘牌數(shù)據(jù)如下：
　　電機(jī)型號(hào)：Y90L-4B；
　　額定功率：1.5kW；
　　額定電壓：380V；
　　額定轉(zhuǎn)速：1400r/min；
　　標(biāo)準(zhǔn)編號(hào)：ZBK22007-88；
　　額定頻率：50Hz；
　　額定電流：3.7A
　　額定轉(zhuǎn)矩：10.2Nm(計(jì)算值)；
　　(1) 電流為3.7A，轉(zhuǎn)差為90r/min，轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速曲線如圖5、6所示：

圖5　轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)曲線

圖6　轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速仿真曲線

　　(2) 電流為3.7A，轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)差曲線如圖7、8所示：

圖7　轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)差實(shí)驗(yàn)曲線

圖8　轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)差仿真曲線

　　(3) 轉(zhuǎn)差為90r/min，轉(zhuǎn)矩電流曲線如圖9、10所示：

圖9　轉(zhuǎn)矩電流實(shí)驗(yàn)曲線

圖10　轉(zhuǎn)矩電流仿真曲線

　　從電機(jī)穩(wěn)態(tài)試驗(yàn)和對(duì)電機(jī)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型的分析可得到如下結(jié)論：
　　(a) 無(wú)論電流為何值，轉(zhuǎn)差為零時(shí)，電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩為零；
　　(b) 電機(jī)輸入電流為定值，轉(zhuǎn)差不變時(shí)，無(wú)論速度是否改變，電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩亦為定值；
　　(c) 電機(jī)輸入電流值不變，其輸出轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)差的關(guān)系呈S狀曲線；
　　(d) 電機(jī)轉(zhuǎn)差不變，其輸出轉(zhuǎn)矩與其輸入電流值的平方成正比。

10 結(jié)論與展望
　　本文采用電流角密度法來(lái)重新研究異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并用等效二相轉(zhuǎn)子電流來(lái)表達(dá)異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的方法，得到簡(jiǎn)潔明了的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型表達(dá)方式。電流角密度法是一種簡(jiǎn)單直觀的方法。采用電流角密度法研究可在一定程度上了解電磁場(chǎng)物理量在電機(jī)內(nèi)部的分布情況。
　　雖然交流異步電機(jī)內(nèi)部電磁場(chǎng)物理量總體上都以同步速旋轉(zhuǎn)，，并且在穩(wěn)態(tài)時(shí)其轉(zhuǎn)速嚴(yán)格一致，但在動(dòng)態(tài)過(guò)程中其瞬時(shí)速度并不相同。電機(jī)內(nèi)部電磁物理量在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上二個(gè)垂直正交分量都是脈動(dòng)直流量。異步電機(jī)在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上成為定子磁場(chǎng)為脈動(dòng)直流磁場(chǎng)、轉(zhuǎn)子繞組為短路繞組的隱極式直流電機(jī)；直流電機(jī)與交流電機(jī)得到了統(tǒng)一。
　　從交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以看出：狀態(tài)方程中含有一個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)矩輸出方程中有一個(gè)參數(shù)，故作者將其稱之為交流異步電機(jī)的二參數(shù)數(shù)學(xué)模型。
　　由二參數(shù)數(shù)學(xué)模型可知：交流異步電機(jī)是一個(gè)三輸入單輸出的二階非線性強(qiáng)耦合系統(tǒng)。
　　通過(guò)電流角密度分布推導(dǎo)異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究交流傳動(dòng)系統(tǒng)還有許多的研究工作可以展開，具體如下：
　�、� 研究二參數(shù)模型下的異步電機(jī)參數(shù)在線辨識(shí)問(wèn)題；
　�、� 以二參數(shù)模型為基礎(chǔ)研究電機(jī)的非線性行為問(wèn)題；
　�、� 研究以二參數(shù)模型為基礎(chǔ)的各種交流傳動(dòng)控制系統(tǒng)；
　�、� 研制僅需幾個(gè)參數(shù)便能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制的變頻器，使變頻器成為簡(jiǎn)單易用的高性能交流傳動(dòng)控制器；
　�、� 考慮鐵芯損耗與飽和時(shí)交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

作者單位：朱明　陳覺曉　上海大學(xué)　上海 200072
　　　　　貢俊　電子部第21研究所　上海 200233
　　　　　梅衛(wèi)東　上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所　上海 200072

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本文1998年6月5日收到

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