本文關鍵詞：非線性薛定諤方程保守恒性質間斷有限元方法

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【摘要】：本文主要討論了非線性薛定諤方程在DDG和LDG兩種不同的空間離散方法下,結合Crank-Nicolson和Strang-splitting時間離散方法的數(shù)值求解問題。文章第一部分介紹了薛定諤方程的來源和研究現(xiàn)狀。首先介紹了方程的產生背景及其在量子力學中的重要性。然后介紹了有限差分法,譜方法,時間分裂方法以及有限元法等數(shù)值離散方法在薛定諤方程上的應用現(xiàn)狀以及得到的部分結論。本文的第二部分和第三部分分別推導了DDG和LDG的半離散和全離散格式,證明了兩種格式在質量和能量上的守恒性質。首先,分別給出了方程(2.1)在1D與2D中的DDG和LDG兩種格式,隨之用Crank-Nicolson方法對時間離散,得到全離散格式。第二部分給出了DDG半離散格式的質量守恒性質,證明了半離散和全離散格式下的能量守恒性質。特別說明的是,此處的能量,并非傳統(tǒng)的能量形式,見定理(2.4.1)。第三部分給出了LDG半離散格式下的保質量性質,證明了半離散格式的保能量性質。在第四部分,我們給出了對非線性項的特殊處理。用Strang-splitting時間離散方法將方程(2.1)拆分成一個ODE方程(4.1)和一個線性薛定諤方程(4.2),方便對方程的非線性部分的處理,能將更多的注意力放到本文要探討的保結構性質上。這章節(jié)分別給出了Strang-splitting時間離散與DDG及LDG兩種空間離散方法相結合的算法,同時證明了Strang-splitting數(shù)值方法的保質量守恒性質。第五部分,文章用1D和2D中的數(shù)值算例,驗證了本文討論的幾個性質。在計算精度和收斂性上,都是在2多項式空間中討論,數(shù)值格式表明兩種格式均能達到最優(yōu)收斂階。在計算效率上,無論是在1D或者在2D情況下,DDG方法均優(yōu)于LDG方法。在保質量守恒性質上的驗證,DDG和LDG兩種格式都能在1D和2D兩種空間的問題中保質量守恒。
【學位授予單位】：湘潭大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1189587