本文關(guān)鍵詞：孤子方程的達布變換及精確解

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【摘要】：Darboux變換是非線性方程的譜問題的規(guī)范變換,是得到孤子方程解的非常有效的方法之一。利用Darboux變換可以得到孤子方程的1-孤子解、2-孤子解及多孤子解。在構(gòu)造Darboux變換時選擇合適的參數(shù),從而減少求解時的運算量,得到很多有價值的解。再結(jié)合經(jīng)典的孤子理論,將Darboux變換和非線性系統(tǒng)的Lax對聯(lián)系起來,利用Crum定理可以直接地顯示得到二次和三次Darboux變換等,(u,?)?(u?,??)?(u?,??),從一個孤子解得到n孤子解。求解Darboux變換的方法有很多種,具體到某個孤子方程,用哪種方法對此方程進行變換,這就要根據(jù)方程的具體形式來判定。對于具有高階Lax矩陣的孤子方程的Darboux變換的研究還比較少,主要因為它的復(fù)雜性。在做此類方程的變換的過程中,需要多嘗試幾次。本文考慮三類重要的孤子方程:第一部分介紹了達布變換的基本理論并給出了最原始的達布變換,以此為基礎(chǔ)構(gòu)造三個非線性方程的達布變換。第二部分考慮柱kdv方程,首先由方程所滿足的譜問題導(dǎo)出其Darboux變換,再利用常數(shù)變易法得到單孤子解。以已知解為種子,利用Darboux定理及Crum定理求出其雙孤子解并推廣到n孤子解。第三部分考慮孤子方程組Boussinesq-Burgers系統(tǒng),首先由零曲率方程推導(dǎo)出此系統(tǒng),再由系統(tǒng)所滿足的譜問題,導(dǎo)出其Darboux變換,并給出此變換與兩種基本達布變換之間的關(guān)系,進而以vu??0,1作為種子解,利用常數(shù)變易法得到單孤子解及雙孤子解。第四部分考慮一個有關(guān)3×3矩陣譜問題的達布變換,首先由方程組所滿足的譜問題,導(dǎo)出其Darboux變換,進而以p?0,q?0作為種子解,求出此孤子方程組的精確解。
【學(xué)位授予單位】：華僑大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175.29

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本文編號：1163189