本文關鍵詞：兩類非局部問題解的存在性與多重性

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【摘要】：本文首先利用變分方法和山路引理,研究了Dirichlet邊界條件下一個新的非局部問題的非平凡解的存在性與多重性,然后利用橢圓型問題現(xiàn)有的結論以及本文給出的函數(shù)變換,研究了全空間中三類典型Kirchhoff型問題正解的存在性以及與之相關的臨界或超臨界指數(shù)Kirchhoff型問題非平凡解的不存在性.首先,考慮如下帶有Dirichlet邊界條件的非局部問題非平凡解的存在性與多重性,其中Ω是RN中的光滑有界區(qū)域,N≥1,常數(shù)a,b0,并且有主要結果為定理1問題(P1)在H01(Ω)中至少有一個非平凡弱解.定理2問題(P1)在H01(Ω)中至少有一個非負非平凡弱解和一個非正非平凡弱解.其次,考慮以下三類Kirchhoff型問題(α+λ∫RN(|%絬|2+|u|2)dx)(-△u+u)=|u|p-1u,x ∈RN, (P2)-(α+λ∫RN(|%絬|2+|u|2)dx)△u+u=|u|p-1u,x ∈RN (P3)和-(α+λ∫RN|%絬|2dx)△u+μu=|u|p-1u,x ∈RN (P4)正解的存在性,其中空間維數(shù)N≥2,參數(shù)λ0,常數(shù)α0,μ0,1p2*-1,以及和非平凡解的不存在性,其中N≥3,p≥2*-1,常數(shù)a,b,μ0.記U是問題-△u+u=|u|p-1u,x ∈RN的唯一正徑向解.主要結果為定理3(1)當N=2,3且1p3時,或者當N≥4且1p2*-1時,記則當λ∈(0,λ0)時,問題(P2)有兩個正解；當λ=λ0時,問題(P2)有一個正解；當λ∈(λ0,∞)時,問題(P2)無非平凡解.(2)當N=2,3且p=3時,記則當λ∈(0,λ1)時,問題(P2)有一個正解；當λ∈[λ1,∞)時,問題(P2)無非平凡解.(3)當N=2,3且3p2*-1時,問題(P2)有一個正解.定理4(1)當N=2時,記則當λ∈(0,λ0)時,問題(P3)有一個正解；當λ∈λ0,∞)時,問題(P3)無非平凡解.(2)當N≥3時,記其中則當λ∈(0,λ1)時,問題(P3)有兩個正解；當λ=λ1時,問題(P3)有一個正解；當λ∈(λ1,∞)時,問題(P3)無非平凡解.定理5(1)當N=2,3時,對于任意的λ0,問題(P4)有一個正解.則當λ∈(0,λ0)時,問題(P4)有一個正解；當λ∈[λ0,∞)時,問題(P4)無非平凡解.(3)當N≥5時,記則當λ∈(0,A1)時,問題(P4)有兩個正解；當λ=λ1時,問題(P4)有一個正解；當λ∈(λ1,∞)時,問題(P4)無非平凡解.定理6如果N≥3,p≥2*-1,常數(shù)a,b0,則問題(P5)只有零解.定理7如果N≥3,p≥2*-1,常數(shù)a,b0,則問題(P6)只有零解.定理8如果N≥3,p≥2*-1,常數(shù)a,b,μ0,則問題(P7)只有零解.全文結構如下：第一章介紹了非局部問題和Kirchhoff型問題的研究背景以及近年來的研究進展.第二章陳述了本文所要用到的變分法的相關知識.第三章首先給出了問題(P1)的變分結構,其次利用山路引理證明了問題(P1)非平凡解的存在性與多重性.第四章首先利用本文給出的函數(shù)變換將三類Kirchhoff型問題分別化為由一個微分問題和一個積分問題組成的三類方程組,進一步,結合橢圓型問題現(xiàn)有的結論證明了問題(P2)-(P4)非平凡解的存在性.最后,用同樣的方法對(P5)-(P7)非平凡解的不存在性結果做了討論.第五章對全文做了總結,并對今后的研究做了一些展望.
【學位授予單位】：太原理工大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.2

【共引文獻】

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本文編號：1162528