本文關(guān)鍵詞：關(guān)于保持距離映射的Aleksandrov問題

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【摘要】：1970年,A.D.Aleksandrov提出：若f為定義在兩個距離空間中的保持某一個距離的映射,那么f是否為一個等距映射?這就是所謂的A1eksandrov問題.Aleksan-drov問題被許多數(shù)學(xué)工作者廣泛地研究,現(xiàn)雖已得到了一些漂亮的結(jié)果,但仍然有許多問題尚待解決.在本文中,我們主要用分析的方法在準(zhǔn)凸賦范空間,Hilbert空間,Rn空間中研究Aleksandrov問題,得出了一些有意義的結(jié)論,從而部分回答了該問題.我們將本文分為四章：第一章簡要介紹了Aleksandrov問題的研究背景,研究現(xiàn)狀和本文結(jié)果概要；第二章介紹準(zhǔn)凸賦范線性空間,Hilbert空間,Rn空間的基本概念和和映射f具有的性質(zhì),如映射f滿足(DOPP),滿足(DnPP),保共線性質(zhì)等等.第三章介紹關(guān)于Aleksandrov問題的結(jié)論,此章節(jié)分三個部分,在第一部分中,主要研究準(zhǔn)凸賦范線性空間中的Aleksandrov問題,主要結(jié)果為：(1)設(shè)X和Y是準(zhǔn)凸賦范線性空間,如果f：X→Y具有保共線的性質(zhì),且滿足下列條件：(i) || x-y||≤1,則||f(x)-f(y)||≤||x-y||； (ii)||x-y||≥no,則||,(x)-f(y)||≥no.則f是一個仿射等距映射.(2)設(shè)X和Y是準(zhǔn)凸2-賦范線性空間,若f：X→Y具有(GAOPP)且對任意x,z,p,q ∈X,若||x—z,p-q||≤1,有||f(x)-f(z),f(p)-f(q)||≤||x-x,p-q||,則f是一個廣義2-等距仿射(3)設(shè)X和Y是準(zhǔn)凸2-賦范線性空間,映射f：X→Y,若f保GAOPP,正同胚,f保共線,則f是一個廣義2-等距映射.(4)設(shè)X和Y是準(zhǔn)凸2-賦范線性空間.假設(shè)f：X→Y是一個仿射且滿足對X中任意元素x,y,z當(dāng)||x-y,z-z||1,有||f(x)-f(y),f(x)-f(z)||=||x-y,x-z||,則f是一個2-等距映射.第二部分主要研究Hiert空間中的Aleksandrov問題,主要結(jié)果為：(1)設(shè)x和Y是希爾伯特空間,X的維數(shù)大于1,如果f：X→Y保兩個距離1和則f是一個仿射等距.(2)設(shè)X和Y是希爾伯特空間,X的維數(shù)大于1,如果f：X→Y保兩個距離1和則f是一個等距仿射.第三部分主要研究Rn空間中的Aleksandrov問題,主要結(jié)果為：假設(shè)f：Rn-1→Rn保兩個距離1和則f是一個仿射等距.
【學(xué)位授予單位】：天津大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O177

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本文編號：1160179