本文關鍵詞：生長曲線數(shù)學模型的一般形式及新的構建方法，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

1　 引言

生長 ( S) 曲線法作為趨勢外推法的一種重要方法 ,在描述及預測生物個體的生長發(fā)育及某 些技術 、 經(jīng)濟特性等領域中已得到廣泛地應用 。常用的數(shù)學模型有 Pearl 模型 、 Ridenour 模型 及G ompertz 模型 。在數(shù)據(jù)的連續(xù)性 、 完整性與準確可靠性確定的前提下 ,如何選用數(shù)學模型才 能得到較好的預測結果 ? 雖然是模型研究的

重要問題 ,卻很少有人研究 。通常 ,人們往往是在 求出兩個或兩個以上模型的參數(shù)以后 ,比較其相關系數(shù)來確定適用的模型 。由于采用不同的 模型 ,計算其參數(shù)的方法也不同 ,因此 ,確定適用的模型 ,要進行大量的計算 。這無疑給使用者 帶來很多不便 。為尋求較簡潔的方法 ,本文從研究上述模型的性質出發(fā) ,概括了它們所具有的 基本數(shù)學特征 ,提出了生長 ( S) 曲線法中數(shù)學模型的一般形式 。利用此模型的一般形式 ,可以 構造具有不同變化趨勢的生長曲線模型 ,以更好地適應實際問題的要求 。作為例子 ,給出了一 個新的生長曲線模型 ,它和 Pearl 、ompertz 模型一起構成生長曲線的三種基本變化趨勢 。并在 G 模型一般形式的基礎上 ,建立一種構建生長曲線模型的新方法 。

2　 生長曲線模型的一般形式

) 作者簡介 : 趙宜賓 (1976 — ,男 ,講師 ,從事數(shù)學教學與研究

收稿日期 : 2003 年 6 月 2 日

3 校教 ( 科) 研基金資助項目

第5卷 第3期 防災技術高等�？茖W校學報 Vol15 № 3 1 　　　　 　 　　　　 　 2003 年 9 月 J 1of College of Disaster - prevention Technique Sep 12003
摘　 　 要 本文在討論生長 (S) 曲線法主要數(shù)學模型的基礎上 , 建立了生長曲線模型的一般形式 , 它為建
立新的生長線模型提供線索 。作為例子 ,文中給出了一個新的生長曲線模型 。此外 , 給出了構建生長曲 線模型的一種新方法 ,它比傳統(tǒng)的方法有更高的相關系數(shù)且計算簡單 。

關鍵詞 　 生長曲線 　 數(shù)學模型 　 擬合 　 相對水平函數(shù)

中圖分類號 : O29 　　　 文獻標識碼 : A 　　　 文章編號 : 1008 - 7869 (2003) 03 - 0011 - 06

生長 ( S) 曲線法中的主要數(shù)學模型有 Pearl 模型 、 Ridenour 模型和 G ompertz 模型[1 ] 。 Pearl 模型為
y = k

生長曲線數(shù)學模型的一般形式 及新的構建方法 3
趙宜賓 　 胡順田 　 趙永安
( 防災技術高等�？茖W校 　 河北三河 　 065201) 1 + be at

,a > 0

　　　 　　　　　　　　　　 防災技術高等�？茖W校學報 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 12 　　 Ridenour 模型為
k k 1 + ( - 1) e N0

N =

,a > 0
at

G ompertz 模型為
y = ka
bt

不難看出 ,Pearl 模型和 Ridenour 模型滿足的是同一個微分方程 :
1 dy
y dt y ) k

= a (1 -

( 1)

而G ompertz 模型滿足的微分方程為 :
1 dy
y dt

= ln b[ ln ( y/ k ) ]

( 2)

因此 ,Pearl 模型 、 Ridenour 模型和 G ompertz 模型只給出了兩種基本變化趨勢 。為尋求其更 多的變化趨勢 ,以適應生長曲線變化的多樣性 ,我們需要回頭研究方程 ( 1) 和 ( 2) 的意義 ,以便 給出生長曲線模型的一般形式 。 1 dy 注意到 是我們所討論的特性參數(shù) y 在時刻 t 時的相對變化率 、 是 y 增長的極限值 、 k
y dt y 是此時特性參數(shù)達到的相對水平 、 ( 1 - y/ k ) 是其潛在發(fā)展的相對水平 , 則 ( 1) 表明 , Pearl 而 k

模型和 Ridenour 模型所反映的基本規(guī)律是 : 特性參數(shù)的相對變化率與其潛在發(fā)展的相對水平 成正比 ,比例系數(shù)是 a ; 而 ( 2) 表明 G ompertz 模型所反映的基本規(guī)律是 : 特性參數(shù)的相對變化 率與此時其達到相對水平的對數(shù)成正比 , 比例系數(shù)是 ln b 。從而不難看出 , 它們的共同規(guī)律 是 : 特性參數(shù)的相對變化率是其相對水平的函數(shù) ,即生產(chǎn)曲線模型的一般形式可表示為 :
1 dy
y dt

= f ( y/ k )

( 3)

y 這里 f ( y/ k ) 是 的任意函數(shù) , 我們稱它為特性參數(shù)的相對水平函數(shù) 。顯然它具有 t →∞ , 時 k f ( y/ k ) → 的重要特征 。 0
2

適當?shù)剡x取函數(shù) f ( y/ k ) , 可建立新的生長曲線模型 , 以描述更多的變化趨勢 。如取
f ( y/ k ) = a ( 1 y ) 則可得到一個新的模型 : k2

第 3 期 　　　　 　 趙宜賓等 : 生長曲線數(shù)學模型的一般形式及新的構建方法 　　　 　　 13
y = k ( 4)
t0 )

1 + (

k - 2 a( t2 - 1) e y0

2

選用函數(shù) f ( y/ k ) 的其它形式 , 可以得到其它相應的生長曲線模型 , 而由 y 的一組時序數(shù) 據(jù){ y i } , 借助于擬合 ( 3) 右端的函數(shù) , 不難求得諸模型中的相應參數(shù) , 這里不再細述 。順便指 出 , 指數(shù)曲線模型是 ( 3) 中 f ( y/ k ) = 常數(shù)的情況 , 注意到 t →∞ , f ( y/ k ) → 是生長曲線模型 時 0 的基本特征 , 因此 , 指數(shù)曲線模型不屬于生長曲線模型的范疇 。

3　 由擬合相對水平函數(shù)構建生長曲線模型

的方法
用 Mathematica 軟件 [2 ] 可以繪出的 Pearl 模型和 G 2 om pertz 模型及模型 ( 4) 的圖象 , 如圖 1 ( 取 k = 10 , 在 Ridenour 模型及 ( 4) 中 , a = 0 . 5 , y0
k

2 5 , b = 0 . 15) 。由此可以看出 Pearl ( Ridenour) 模型 、ompertz 模型及模型 ( 4 ) 反映了生長曲線的 G 三種基本變化趨勢 ,它們由方程 ( 3) 右端的相對水平函數(shù)確定 。因此 ,我們構建生長曲線模型

= 5 ,在 G ompertz 模型中 , a = 0 .

圖1

可以從擬合該函數(shù)入手 。 311 　 擬合方程 ( 3) 右端的相對水平函數(shù)
yi

設特性參數(shù) y 的一組時序觀測值為 y1 , y2 , …yN ( N = 3 n) , 注意到

1 dy

y dt 　t = i

=

d (ln y ) dt

≈
t=i

1 [ ln y i + 1 - ln y i - 1 ] = z i 是方程 ( 3) 右端的近似 , 觀察 { ( y i , z i ) } 的散點圖 , 如果散點圖呈直線 , 2

則宜采用 Pearl 模型 ,用 α( 1 - β ) 擬合 { z i } 的散點曲線 ; 如果散點圖呈指數(shù)曲線 , 則宜采用 G ompertz 模型 ,用α( lnβ- ln y i ) 擬合{ z i }的散點曲線 ; 如果散點圖呈拋物線 , 則宜采用模型 ( 4) , 用α( 1 y2 i

, 2 ) 擬合{ z i } 的散點曲線 。計算擬合曲線的相關系數(shù)進行確定 ,并計算待定參數(shù)αβ。 β 312 　 構建生長曲線模型 一般來說 ,以 311 擬合得到的相對水平函數(shù)代入方程 ( 3) 的右端 , 求解該方程并適當?shù)倪x 取初始值 ,即可得到所求的生長曲線模型 。如果考慮到不熟悉微分方程人們的使用方便 ,我們

給出三種基本變化趨勢生長曲線的有限形式 。Pearl 模型的有限形式為 : β

y =

1 + (

β
y0

( 5)

- 1) e

- a ( t - t0 )

G ompertz 模型的有限形式為 :

　　　 　　　　　　　　　　 防災技術高等�？茖W校學報 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 14
y =β y0
a ( t - t0 )

β

( 6)

模型 ( 4) 中的參數(shù)也用擬合曲線的參數(shù) α,β代替 ,即表示為 : β
1 +

y =

β

2 2

( 7)
- 2 a ( t - t 0)

y0

- 1 e

則適當?shù)剡x取初始值 ,將其和擬合曲線參數(shù) α,β, 代入相應的 ( 5) , ( 6) 或 ( 7) 式中 , 就可以得到 所需要的生長曲線 。通常上述三種基本變化趨勢的生長曲線 ,基本可以滿足各種實際問題的 需要 。 為敘述方便起見 ,我們稱這個方法為由擬合相對水平函數(shù)構建生長曲線模型的方法 ,簡稱 為擬合相對水平函數(shù)方法 。

4　 擬合相對水平函數(shù)方法的特點
411 　 數(shù)據(jù)處理形式單一 ,只需對觀測值{ y i } 取對數(shù) ,即可算出{ z i } 。而傳統(tǒng)構建方法則要復雜

得多 。例如 Pearl 模型在已知最大值 k 的情況下 , 通常需對 需對 取兩次對數(shù) 。
k yi

k - 1 取對數(shù) , 而 G ompertz 模型則 yi

412 　 模型的選取有可遵循的原則 ,即可根據(jù)擬合函數(shù) f ( y/ k ) 與{ z i } 的相關系數(shù)來選取相應的

模型 , 而這樣選取的結果往往與觀察{ z i } 散點圖曲線的結果相一致 。 413 　 適當選取初始值 ,可進一步提高相關系數(shù) 。 利用初始值的選取提高擬合典線的相關系數(shù)是該方法的顯著特點 ,而傳統(tǒng)的方法除非重 新計算各參數(shù)則很難做到這一點 ,因為其模型中參數(shù)的確定與初始值有關 ,在建立了模型以后 就不能再改變其初始值 。 下面我們通過一個實例來說明該方法的應用 。 例 : 美國股市 1825～1978 年的市值增長曲線[3 ] 如圖 2 ,{ ( y i , z i ) } 的散點如圖 3 。
圖2 圖3

第 3 期 　　　　 　 趙宜賓等 : 生長曲線數(shù)學模型的一般形式及新的構建方法 　　　 　　 15 觀察散點的分布 ,基本上呈拋物線形 ,故用 α( 1 計算表明 , 用 α( 1 yi
2 2 ) 擬合 {

y2 i
2 β

) 擬合 { z i } 可得較好的擬合曲線 。事實上 , yi

用傳統(tǒng)方法 [3 ] 估算 Pearl 模型的三個參數(shù) ln a = 8 . 450 , b = 0 . 069 , 其相關系數(shù)是 01902 。其相應的生 長曲線如圖 6 。 為比較方便起見 , 我們用 α( 1 - β ) 擬合 { z i } 的散點曲線 , 可得到 :
y y ) = 0 . 204872 ( 1 ) , k 345217 yi f(

的相關系數(shù)為 01172343 , 即與觀察結果相一致 。 用 α( 1 yi
2

將擬合曲線參數(shù) α= 01197534 ,β= 268419 代入 ( 7) ,可得到 :
y =

取 t 0 = 1 , y0 = 19107 , 則相關系數(shù)為 0193507 , 這時其擬合生長曲線如圖 4 。為了提高擬合精度 , 我們還可以通過對初始值 ( t 0 , y 0 ) 的選取 , 將擬合曲線向右平移 。例如取 t 0 = 10 , y 0 = 104190 , 則相關系數(shù)為 01935329 , 這時其擬合生長曲線如圖 5 。
圖4 圖5 圖6

) z i } , 其擬合函數(shù)與 { z i } 的相關系數(shù)為 0128736 ; 用 α( 1 β 擬合 β { z i } , 其擬合函數(shù)與{ z i } 的相關系數(shù)為 01262727 , 用 α( lnβ - ln y i ) 擬合 { z i } , 其擬合函數(shù)與 { z i }

β

2 ) 擬合{

z i } 的散點曲線可得到 :

f(

y y2 ) = 01197534 ( 1 ) , k 7120866 ×106

1 + (

268419
y0
2

2

268419

- 1) ×e

- 2 × 1197534 ( t - t0) 0

　　　 　　　　　　　　　　 防災技術高等�？茖W校學報 　　　　　　　　　　 　 5 卷 第 16 將 α= 0 . 204872 ,β= 3452 . 7 代入 ( 5) ,可得
345217 345217 - y 0 - 01204872 ( t y0 e
參 考 文 獻

y =

1 +

t 0)

those in the traditional method.

tinuation in the teaching of English pronunciation

取 t 0 = 1 , y0 = 19 . 07 , 則相關系數(shù)為 01923818 , 這時其擬合生長曲線如圖 7 。從而也可以看出 , 即使用同樣的相對水平函數(shù) ,本文提出的方法也優(yōu)于傳統(tǒng)的方法 。 總之 ,本文提出的由擬合相對水平函數(shù)來構建生長曲線模型的方法較傳統(tǒng)構建生長曲線 模型的方法有較高的相關系數(shù)且計算也比較簡單 。
Abstract : In this paper we build the general form of the growing curve model which provides the clue of constructing structing the mathematioal model of growing carve which has higher correlation coefficient and simpler maniputation than Key words : growing curve 　 mathematical model 　 fitting 　 relative level function

一些較生動的課外活動 ,如朗讀比賽 ,演講比賽等 ,通過 “激勵作用” 來鼓勵學生努力改進并完 善自己的發(fā)音 。 41 強調語音課教學的連續(xù)性 。要使學生明確 : 要想使自己的英語真正像地道的英語 , 光 靠語音課有限的課堂教學時間是遠遠不夠的 ,在語音課上所學到的正確的發(fā)音方法必須貫穿 始終 。也就是說 ,學生必須保證在開口講英語時 ,即按照新的正確的 ,而不是舊的錯誤的發(fā)音 方式去發(fā)音 。做到課內(nèi)課外相結合 ,充分利用課外時間 ,鼓勵學生多聽多講 ,不怕犯錯誤 ,不怕 丟丑 ,下大力氣改正不良的發(fā)音習慣 。 綜上所述 ,通過我們不懈的努力 ,一定可以幫助我們的學生改進并完善他們的英語發(fā)音 , 使他們擁有聽起來的地道 、 令人羨慕的英語 。
Abstract : Based on detailed analysis of the problems with the students’English pronunciation ,the article suggests some effective way to solve these problems.

new growing curve models ,and give a new mathematic model as an example. In addition ,we propose a new method for con2

( 上接第 28 頁)

[1 ] 楊小凱主編 1 數(shù)理經(jīng)濟學基礎 1 北京 : 國防工業(yè)出版社 ,1985 (6)

[2 ] 裘宗燕編 1Mathematica 數(shù)學軟件系統(tǒng)的應用及其程序設計 1 北京 : 北京大學出版社 ,64～69 ,1994 [3 ] 王樹強 1 股票市場規(guī)模增長模型的理論討論 1 河北工業(yè)大學學報 , (28) 3 ,1999

Key words : Students’English pronunciation 　Standard Chinese pronunciation and English pronunciation 　The con2



  本文關鍵詞：生長曲線數(shù)學模型的一般形式及新的構建方法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。