本文關(guān)鍵詞：具有三階細(xì)奇點(diǎn)的二次微分系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)和分支曲線(xiàn)

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【摘要】：本文研究如下兩個(gè)平面二次微分系統(tǒng)：系統(tǒng)(1)原點(diǎn)的奇點(diǎn)性態(tài)由c確定,當(dāng)|c|1時(shí),原點(diǎn)為鞍點(diǎn),當(dāng)|c|1時(shí),原點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)；系統(tǒng)(2)原點(diǎn)的奇點(diǎn)性態(tài)也由c確定,當(dāng)|c|≠0時(shí),原點(diǎn)為焦點(diǎn)。系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)除原點(diǎn)外均存在一個(gè)三階細(xì)奇點(diǎn),文中統(tǒng)一記為A0,A0是關(guān)于參數(shù)c,u的變動(dòng)奇點(diǎn),系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中A0的坐標(biāo)分別為和(與以往文獻(xiàn)研究二次系統(tǒng)細(xì)焦點(diǎn)和細(xì)鞍點(diǎn)不同的是,A0并非固定在原點(diǎn),其在坐標(biāo)平面上的位置和性態(tài)依賴(lài)于參數(shù)c,u。隨著參數(shù)的變動(dòng)A0的奇點(diǎn)性態(tài)或者為三階細(xì)焦點(diǎn)或者為中心又或者為三階細(xì)鞍點(diǎn),本文給出了在c-u平面上刻畫(huà)奇點(diǎn)A0性態(tài)完整的分支曲線(xiàn)圖。路鋼在研究三階細(xì)焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí),對(duì)于分支曲線(xiàn)C(α,l)=0無(wú)法給出明確的表達(dá)式,然而本文在c-u平面上的所有分支曲線(xiàn)都有明確的解析表達(dá)式。這些分支曲線(xiàn)把平面分成若干個(gè)區(qū)域,在開(kāi)區(qū)域內(nèi)參數(shù)c,u對(duì)應(yīng)的變動(dòng)奇點(diǎn)A0的性態(tài)為三階細(xì)焦點(diǎn)或者三階細(xì)鞍點(diǎn),分支曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)的A0性態(tài)為中心或者為超細(xì)鞍點(diǎn)或者為指標(biāo)和為+1的三重退化奇點(diǎn)。通過(guò)本文的研究得到了,除中心分支出三階細(xì)焦點(diǎn)外,指標(biāo)和為+1的三重退化奇點(diǎn)也存在分支出三階細(xì)焦點(diǎn)或者三階細(xì)鞍點(diǎn)的情形,再者我們也得到某些退化的無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)向有限平面上分支出三階細(xì)焦點(diǎn)或者三階細(xì)鞍點(diǎn)的情形。本文在研究系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)時(shí),使用了以往文獻(xiàn)沒(méi)有見(jiàn)到的一些研究方法。(1)c-u平面上多條分支曲線(xiàn)的交點(diǎn)為高階分支點(diǎn),在高階分支點(diǎn)上,系統(tǒng)的某些有理系數(shù)項(xiàng)分子分母均為零,研究此類(lèi)高階的分支點(diǎn),本文將其轉(zhuǎn)換為對(duì)相應(yīng)極限系統(tǒng)的研究,例如在c-u平面上的原點(diǎn)均為兩個(gè)系統(tǒng)的高階分支點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)(c,u)沿某個(gè)方向趨于原點(diǎn)系統(tǒng)的有理系數(shù)極限存在,由此我們可以先令u=kc帶入系統(tǒng),然后再令c=0,這樣就將原點(diǎn)處的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成為了關(guān)于參數(shù)k的系統(tǒng),此時(shí)k系統(tǒng)對(duì)應(yīng)從不同方向趨于原點(diǎn)的極限系統(tǒng)。用此方法,相當(dāng)于將一個(gè)點(diǎn)爆破成一條直線(xiàn)；(2)通過(guò)求解系統(tǒng)若干不變代數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)而求解系統(tǒng)通積分的具體方法是：首先利用待定系數(shù)的方法求解系統(tǒng)的若干不變代數(shù)曲線(xiàn),設(shè)系統(tǒng)通積分為若干不變代數(shù)曲線(xiàn)冪乘積的形式,例如本文中系統(tǒng)(1)在分支曲線(xiàn)c=5上有一條二次不變代數(shù)曲線(xiàn)和一條三次不變代數(shù)曲線(xiàn),分別記為F2(x,y)=0、F3(x,y)=0,設(shè)通積分為φ(x,y)=(F3)(F2)°由φxP+φyQ-0解得σ=-3/2,即得到了系統(tǒng)(1)在c=5上的通積分。本文研究系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)在分支曲線(xiàn)上的全局結(jié)構(gòu)。Jaume Llibre闡明QCUQW3已經(jīng)完全研究清楚,以往文獻(xiàn)給出了9個(gè)二次系統(tǒng)中心的全局相圖,然而根據(jù)本文所指出的兩類(lèi)二次微分系統(tǒng)得到了下列新的結(jié)果：(1)系統(tǒng)(1)中在c-u平面上的分支曲線(xiàn)有c=0,u=±1,u=-c,u=-3/5,3u2= c2+2,(13c - 9c2 +2c3 + 15u - 24cu + 9c2u - 15u2 +9cu2):0,(13c+ 9c2 + 2c3 + 15u + 24cu + 9c2u + 15u2 + 9cu2)=0；系統(tǒng)(2)中在c-u平面上的分支曲線(xiàn)有c=0,u=c,u=3/5c,3u2=c2 - 2,分支曲線(xiàn)均為c-u平面上的一次、二次、三次(2)本文指出指標(biāo)和為+1的三重奇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)能夠分支出一個(gè)三階細(xì)焦點(diǎn)和兩個(gè)復(fù)奇點(diǎn),或者分支出一個(gè)指標(biāo)為-1的三階細(xì)鞍點(diǎn)和另外兩個(gè)指標(biāo)為+1的奇點(diǎn)；(3)某些退化的無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)亦可向有限平面分支出三階細(xì)焦點(diǎn)或者三階細(xì)鞍點(diǎn)；(4)在分支曲線(xiàn)c=土5上本文得到了連接中心與超細(xì)鞍點(diǎn)更高階的奇點(diǎn)；(5)本文得到了26個(gè)A0為中心的二次系統(tǒng)的全局相圖,覆蓋了路鋼所述9個(gè)中心的情形,還包含了一些新的以往文獻(xiàn)沒(méi)有的二次系統(tǒng)中心的全局相圖,如相圖O(E),k=-1和(5,-3)E,-3/5k-5/9等。
【關(guān)鍵詞】：二次系統(tǒng) 細(xì)焦點(diǎn) 細(xì)鞍點(diǎn) 奇點(diǎn)量 閉包區(qū)域 局部解析通積分
【學(xué)位授予單位】：福建師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O175
【目錄】：

• 中文摘要2-4
• Abstract4-7
• 中文文摘7-11
• 緒論11-16
• 0.1 課題背景及意義11
• 0.2 二次微分系統(tǒng)研究現(xiàn)狀11-13
• 0.3 本文的主要工作13-16
• 第1章 預(yù)備知識(shí)16-24
• 1.1 非線(xiàn)性系統(tǒng)的奇點(diǎn)性質(zhì)16-19
• 1.2 無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)與Poincare圓盤(pán)19
• 1.3 原點(diǎn)散度為零具有一般形式二次系統(tǒng)的Poincare形式級(jí)數(shù)法19-21
• 1.4 一些常用的定義和引理21-24
• 第2章 一類(lèi)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)且具有三階細(xì)奇點(diǎn)的二次系統(tǒng)研究24-51
• 2.1 一類(lèi)原點(diǎn)為鞍點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)且具有三階細(xì)奇點(diǎn)的二次系統(tǒng)24-27
• 2.2 二次系統(tǒng)的分支曲線(xiàn)研究27-30
• 2.3 二次系統(tǒng)的可積性條件研究30-34
• 2.4 分支曲線(xiàn)上系統(tǒng)的全局分析34-50
• 2.5 小結(jié)50-51
• 第3章 一類(lèi)原點(diǎn)為焦點(diǎn)且具有三階細(xì)奇點(diǎn)的二次系統(tǒng)研究51-63
• 3.1 一類(lèi)原點(diǎn)為焦點(diǎn)且具有三階細(xì)奇點(diǎn)的二次系統(tǒng)51-53
• 3.2 二次系統(tǒng)的分支曲線(xiàn)研究53-55
• 3.3 二次系統(tǒng)的可積性條件研究55-56
• 3.4 分支曲線(xiàn)上系統(tǒng)的全局分析56-61
• 3.5 小結(jié)61-63
• 第4章 結(jié)論63-65
• 4.1 總結(jié)63-64
• 4.2 展望64-65
• 參考文獻(xiàn)65-69
• 攻讀學(xué)位期間承擔(dān)的科研任務(wù)與主要成果69-70
• 致謝70-71
• 個(gè)人簡(jiǎn)歷71-75

【參考文獻(xiàn)】

中國(guó)期刊全文數(shù)據(jù)庫(kù) 前4條

1 桑波;朱思銘;;焦點(diǎn)量與鞍點(diǎn)量的關(guān)系[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);2007年02期

2 李學(xué)鵬;一類(lèi)二次系統(tǒng)定義的雙參數(shù)三次代數(shù)曲線(xiàn)解族[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);1998年06期

3 梁肇軍;關(guān)于一類(lèi)具有三階細(xì)焦點(diǎn)的二次系統(tǒng)的奇異環(huán)[J];數(shù)學(xué)雜志;1986年04期

4 韓茂安;LIAPUNOV CONSTANTS AND HOPF CYCLICITYOF LIENARD SYSTEMS[J];Annals of Differential Equations;1999年02期

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本文編號(hào)：1106072