本文關(guān)鍵詞：具有三階細奇點的二次微分系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)和分支曲線

  更多相關(guān)文章： 二次系統(tǒng) 細焦點 細鞍點 奇點量 閉包區(qū)域 局部解析通積分

【摘要】：本文研究如下兩個平面二次微分系統(tǒng)：系統(tǒng)(1)原點的奇點性態(tài)由c確定,當|c|1時,原點為鞍點,當|c|1時,原點為結(jié)點；系統(tǒng)(2)原點的奇點性態(tài)也由c確定,當|c|≠0時,原點為焦點。系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)除原點外均存在一個三階細奇點,文中統(tǒng)一記為A0,A0是關(guān)于參數(shù)c,u的變動奇點,系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中A0的坐標分別為和(與以往文獻研究二次系統(tǒng)細焦點和細鞍點不同的是,A0并非固定在原點,其在坐標平面上的位置和性態(tài)依賴于參數(shù)c,u。隨著參數(shù)的變動A0的奇點性態(tài)或者為三階細焦點或者為中心又或者為三階細鞍點,本文給出了在c-u平面上刻畫奇點A0性態(tài)完整的分支曲線圖。路鋼在研究三階細焦點問題時,對于分支曲線C(α,l)=0無法給出明確的表達式,然而本文在c-u平面上的所有分支曲線都有明確的解析表達式。這些分支曲線把平面分成若干個區(qū)域,在開區(qū)域內(nèi)參數(shù)c,u對應(yīng)的變動奇點A0的性態(tài)為三階細焦點或者三階細鞍點,分支曲線上對應(yīng)的A0性態(tài)為中心或者為超細鞍點或者為指標和為+1的三重退化奇點。通過本文的研究得到了,除中心分支出三階細焦點外,指標和為+1的三重退化奇點也存在分支出三階細焦點或者三階細鞍點的情形,再者我們也得到某些退化的無窮遠奇點向有限平面上分支出三階細焦點或者三階細鞍點的情形。本文在研究系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)時,使用了以往文獻沒有見到的一些研究方法。(1)c-u平面上多條分支曲線的交點為高階分支點,在高階分支點上,系統(tǒng)的某些有理系數(shù)項分子分母均為零,研究此類高階的分支點,本文將其轉(zhuǎn)換為對相應(yīng)極限系統(tǒng)的研究,例如在c-u平面上的原點均為兩個系統(tǒng)的高階分支點,當點(c,u)沿某個方向趨于原點系統(tǒng)的有理系數(shù)極限存在,由此我們可以先令u=kc帶入系統(tǒng),然后再令c=0,這樣就將原點處的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成為了關(guān)于參數(shù)k的系統(tǒng),此時k系統(tǒng)對應(yīng)從不同方向趨于原點的極限系統(tǒng)。用此方法,相當于將一個點爆破成一條直線；(2)通過求解系統(tǒng)若干不變代數(shù)曲線進而求解系統(tǒng)通積分的具體方法是：首先利用待定系數(shù)的方法求解系統(tǒng)的若干不變代數(shù)曲線,設(shè)系統(tǒng)通積分為若干不變代數(shù)曲線冪乘積的形式,例如本文中系統(tǒng)(1)在分支曲線c=5上有一條二次不變代數(shù)曲線和一條三次不變代數(shù)曲線,分別記為F2(x,y)=0、F3(x,y)=0,設(shè)通積分為φ(x,y)=(F3)(F2)°由φxP+φyQ-0解得σ=-3/2,即得到了系統(tǒng)(1)在c=5上的通積分。本文研究系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)在分支曲線上的全局結(jié)構(gòu)。Jaume Llibre闡明QCUQW3已經(jīng)完全研究清楚,以往文獻給出了9個二次系統(tǒng)中心的全局相圖,然而根據(jù)本文所指出的兩類二次微分系統(tǒng)得到了下列新的結(jié)果：(1)系統(tǒng)(1)中在c-u平面上的分支曲線有c=0,u=±1,u=-c,u=-3/5,3u2= c2+2,(13c - 9c2 +2c3 + 15u - 24cu + 9c2u - 15u2 +9cu2):0,(13c+ 9c2 + 2c3 + 15u + 24cu + 9c2u + 15u2 + 9cu2)=0；系統(tǒng)(2)中在c-u平面上的分支曲線有c=0,u=c,u=3/5c,3u2=c2 - 2,分支曲線均為c-u平面上的一次、二次、三次(2)本文指出指標和為+1的三重奇點所對應(yīng)的系統(tǒng)經(jīng)過適當?shù)臄_動能夠分支出一個三階細焦點和兩個復(fù)奇點,或者分支出一個指標為-1的三階細鞍點和另外兩個指標為+1的奇點；(3)某些退化的無窮遠奇點亦可向有限平面分支出三階細焦點或者三階細鞍點；(4)在分支曲線c=土5上本文得到了連接中心與超細鞍點更高階的奇點；(5)本文得到了26個A0為中心的二次系統(tǒng)的全局相圖,覆蓋了路鋼所述9個中心的情形,還包含了一些新的以往文獻沒有的二次系統(tǒng)中心的全局相圖,如相圖O(E),k=-1和(5,-3)E,-3/5k-5/9等。
【關(guān)鍵詞】：二次系統(tǒng) 細焦點 細鞍點 奇點量 閉包區(qū)域 局部解析通積分
【學(xué)位授予單位】：福建師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號】：O175
【目錄】：

• 中文摘要2-4
• Abstract4-7
• 中文文摘7-11
• 緒論11-16
• 0.1 課題背景及意義11
• 0.2 二次微分系統(tǒng)研究現(xiàn)狀11-13
• 0.3 本文的主要工作13-16
• 第1章 預(yù)備知識16-24
• 1.1 非線性系統(tǒng)的奇點性質(zhì)16-19
• 1.2 無窮遠奇點與Poincare圓盤19
• 1.3 原點散度為零具有一般形式二次系統(tǒng)的Poincare形式級數(shù)法19-21
• 1.4 一些常用的定義和引理21-24
• 第2章 一類原點為鞍點或結(jié)點且具有三階細奇點的二次系統(tǒng)研究24-51
• 2.1 一類原點為鞍點或結(jié)點且具有三階細奇點的二次系統(tǒng)24-27
• 2.2 二次系統(tǒng)的分支曲線研究27-30
• 2.3 二次系統(tǒng)的可積性條件研究30-34
• 2.4 分支曲線上系統(tǒng)的全局分析34-50
• 2.5 小結(jié)50-51
• 第3章 一類原點為焦點且具有三階細奇點的二次系統(tǒng)研究51-63
• 3.1 一類原點為焦點且具有三階細奇點的二次系統(tǒng)51-53
• 3.2 二次系統(tǒng)的分支曲線研究53-55
• 3.3 二次系統(tǒng)的可積性條件研究55-56
• 3.4 分支曲線上系統(tǒng)的全局分析56-61
• 3.5 小結(jié)61-63
• 第4章 結(jié)論63-65
• 4.1 總結(jié)63-64
• 4.2 展望64-65
• 參考文獻65-69
• 攻讀學(xué)位期間承擔的科研任務(wù)與主要成果69-70
• 致謝70-71
• 個人簡歷71-75

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前4條

1 桑波;朱思銘;;焦點量與鞍點量的關(guān)系[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);2007年02期

2 李學(xué)鵬;一類二次系統(tǒng)定義的雙參數(shù)三次代數(shù)曲線解族[J];數(shù)學(xué)年刊A輯(中文版);1998年06期

3 梁肇軍;關(guān)于一類具有三階細焦點的二次系統(tǒng)的奇異環(huán)[J];數(shù)學(xué)雜志;1986年04期

4 韓茂安;LIAPUNOV CONSTANTS AND HOPF CYCLICITYOF LIENARD SYSTEMS[J];Annals of Differential Equations;1999年02期

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本文編號：1106072