本文關(guān)鍵詞：微分方程保能量算法的研究

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【摘要】：守恒和耗散系統(tǒng)廣泛來源于天體力學(xué),分子動力學(xué),電路模擬,量子力學(xué)和電磁學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域。能量是刻畫守恒和耗散系統(tǒng)的最重要的物理量之一。從保結(jié)構(gòu)算法的角度來看,好的數(shù)值方法必須盡可能地保持來源于原連續(xù)系統(tǒng)的離散的物理和幾何結(jié)構(gòu)。保能量或能量耗散方法是一類特殊的保結(jié)構(gòu)算法。他們可以分別保持守恒或耗散系統(tǒng)的首次積分或李雅普諾夫函數(shù)。大量的理論和實(shí)驗結(jié)果表明數(shù)值方法的能量守恒或能量耗散性質(zhì)可以保證線性誤差增長,對原系統(tǒng)定性性質(zhì)的正確模擬和強(qiáng)有力的數(shù)值穩(wěn)定性等優(yōu)良的數(shù)值特性。針對守恒或耗散的常微分和偏微分方程,本文致力于構(gòu)造和分析具有優(yōu)良幾何性質(zhì)和極高代數(shù)精度的保能量或能量耗散方法。第一章簡要地介紹了保能量方法及其相關(guān)方法的背景知識和我已被接收或發(fā)表的關(guān)于保能量算法的原創(chuàng)性工作。本文剩余內(nèi)容可分為三部分：第二章考慮了具有線性主部的守恒或耗散的常微分系統(tǒng)y'=Q(My+%経(y)), y(t0)=y0∈Rd,其中Q是一個反對稱或半負(fù)定矩陣,M是一個對稱矩陣.對于此系統(tǒng),這一章提出并具體分析了一個二階對稱保首次積分或李雅普諾夫函數(shù)H(y)=1/2yT My+U(y)的指數(shù)型積分子。如果||QM||遠(yuǎn)大于||QHessU(y)||,該新方法比標(biāo)準(zhǔn)的保能量或能量耗散方法的容許步長更大,數(shù)值解的精度更高。針對一般的哈密頓系統(tǒng)y'=J-1%紿(y), y(t0)=y0∈Rd,這里J是一個常值辛矩陣,第三章構(gòu)造了對稱的函數(shù)適應(yīng)型保能量方法。通過擴(kuò)大函數(shù)適應(yīng)空間,這一章在理論上證明了這類方法可以達(dá)到任意高階。往函數(shù)適應(yīng)空間中添加三角函數(shù)對{sin(ωw),cos(ωt)}可以自然地導(dǎo)出了任意高階的三角適應(yīng)型保能量方法。在處理以單個頻率ω振蕩的哈密頓常微分系統(tǒng)時,新提出的三角適應(yīng)型保能量方法比標(biāo)準(zhǔn)的保能量方法效率更高。第四章考慮了一般的帶一個時間變量t和兩個空間變量x,y的哈密頓多辛偏微分方程Mzt+Kzx+Lzy=%絲S(z,x,y),z=z(x,y,t)∈Rd,這里M,K,和L都是反對稱矩陣。分別用連續(xù)型Runge-Kutta方法和Gauss-Legendre/擬譜方法離散時間和空間方向,這一章提出了一個一般的框架來構(gòu)造任意高階的保某種離散局部能量律的方法。該離散守恒律是原方程局部能量守恒律(?)t(S-182z τKzx-1/2zτZzy)+(?)x(1/2zτKzt)+(?)y(182zτLzt)=的近似。除此之外,本文還展示了包括刻畫三原子分子的不可分哈密頓系統(tǒng),風(fēng)誘導(dǎo)的振蕩問題,α-Fermi-Pasta-Ulam系統(tǒng),擾動的Kepler]問題,Duffing方程,高頻振蕩的Fermi-Pasta-Ulam問題,含一個或兩個空間變量的(耦合)非線性薛定諤方程等一系列數(shù)值實(shí)驗,來證明文中新方法的優(yōu)秀的數(shù)值特性。
【關(guān)鍵詞】：保結(jié)構(gòu)算法 保能量方法 保能量耗散方法 指數(shù)型積分子 函數(shù)適應(yīng)方法 連續(xù)型Runge-Kutta方法 多辛哈密頓偏微分方程 保局部能量方法
【學(xué)位授予單位】：南京大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175
【目錄】：

• Acknowlegements4-7
• 摘要7-9
• Abstract9-11
• 1 Introduction11-21
• 1.1 Structure-preserving algorithms11-14
• 1.1.1 Energy-preserving and -decaying methods12-13
• 1.1.2 Hamiltonian ODEs and symplectic methods13-14
• 1.2 Exponential integrators14-15
• 1.3 Functionally fitted methods15-17
• 1.4 Multi-symplectic PDEs and local energy-preserving methods17-19
• 1.5 Original work associated with this thesis19-20
• 1.6 The outline of this thesis20-21
• 2 Exponential AVF method21-47
• 2.1 Background and motivation21-24
• 2.2 Construction of EAVF for conservative and dissipative systems24-29
• 2.3 Properties of EAVF29-31
• 2.4 Problems suitable for the EAVF31-37
• 2.4.1 Highly oscillatory nonseparable Hamiltonian system31-32
• 2.4.2 Second-order(damped)highly oscillatory system32-35
• 2.4.3 Semi-discrete conservative and dissipative PDEs35-37
• 2.5 Numerical experiments37-46
• 2.6 Conclusions and discussions46-47
• 3 Functionally fitted energy-preserving methods47-78
• 3.1 Background and motivation47-49
• 3.2 Functionally fitted continuous finite element methods49-53
• 3.3 Interpretation as continuous-stage Runge-Kutta methods and order53-65
• 3.4 Implementation issues65-68
• 3.5 Numerical experiments68-75
• 3.6 Conclusions and discussions75-78
• 4 Local energy-preserving methods for multi-symplectic PDEs78-118
• 4.1 Background and motivation78-80
• 4.2 Multi-symplectic PDEs and energy-preserving continuous Runge-Kutta methods80-82
• 4.3 Construction of local energy-preserving algorithms for Hamiltonian PDEs82-94
• 4.3.1 Pseudospectral spatial discretization82-88
• 4.3.2 Gauss-Legendre collocation spatial discretization88-94
• 4.4 Local energy-preserving schemes for coupled nonlinear Schrodinger equations94-98
• 4.5 Local energy-preserving schemes for 2D nonlinear Schrodinger equations98-102
• 4.6 Numerical experiments for coupled nonlinear Schrodingers equations102-112
• 4.7 Numerical experiments for 2D nonlinear Schrodinger equations112-116
• 4.8 Conclusions and discussions116-118
• Bibliography118-127

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1 李雨文;微分方程保能量算法的研究[D];南京大學(xué);2016年

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本文編號：1049357