本文關(guān)鍵詞：飛行器設(shè)計中的高維函數(shù)逼近理論研究

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【摘要】：論文從飛行器設(shè)計中對曲面構(gòu)造、方程求解以及代理模型等問題的具體需求出發(fā),探討了相應(yīng)的(1)函數(shù)逼近空間、(2)具體逼近算法、(3)兩類不確定性重要度的計算以及(4)多元積分的轉(zhuǎn)換等方面內(nèi)容。 (1)討論了由多重正交級數(shù)的星形部分和張成的函數(shù)空間。該空間的自由參數(shù)數(shù)目獨立于問題的維數(shù),且空間中的函數(shù)作為給定函數(shù)的近似具有較好的收斂速度。主要的結(jié)論有： ·運用函數(shù)正交展開式系數(shù)的衰減性來定義部分和,從而使得自由參數(shù)數(shù)目的增長獨立于維數(shù)本身； ·給出了星形部分和自由參數(shù)數(shù)目的增長階與增長界； ·基于上述增長界,給出了利用星形部分和逼近已知函數(shù)時的誤差界； ·由可和性討論給出了高維核插值的一個基本思路。該思路有可能成為徑向基函數(shù)插值在高維情形有價值的替代品。(2)引入了一種基于多項式的多分辨分析以及一類多級的Jigsaw擬插值算法。該方法為多元函數(shù)與數(shù)據(jù)提供了一種由粗到細的分級表示方法。主要的結(jié)論有： ·提出了一種多項式再生的多分辨結(jié)構(gòu)。這種多分辨結(jié)構(gòu)僅依賴于空間的仿緊性,因此可以直接拓展到定義在微分流形上的函數(shù)或數(shù)據(jù),也可用于微分流形本身的構(gòu)造； ·引入了一族多項式Jigsaw函數(shù)以及C∞的Jigsaw函數(shù),并由此提出了種多級Jigsaw分解算法,從而得到一個從整體逐漸過渡到局部的空間樹形分解結(jié)構(gòu)； ·引入了兩種多項式多級Jigsaw擬插值,并得到了相應(yīng)的誤差界； ·引入了局部誤差估計,并在此基礎(chǔ)上建立了Jigsaw逼近以及Jigsaw變換,由此得到一類白適應(yīng)逼近。另外還單獨討論了常數(shù)Jigsaw擬插值。說明了最優(yōu)分片常數(shù)插值的存在性以及該最優(yōu)方法與相應(yīng)Voronoi圖和Delaunay三角剖分之間的聯(lián)系。 (3)給出了High Dimensional Model Representations (HDMR)分解、Sobol指標以及Borgonovo指標的具體計算方法。主要的結(jié)論有： ·構(gòu)造了HDMR分解截斷空間的再生核,從而利用核插值的方法估計HDMR分解,并最終對Sobol重要度指標進行估計。在一個較強的假設(shè)下,該方法也可以用于高維函數(shù)逼近； ·根據(jù)非參數(shù)濾波的思想,將核回歸的方法引入到條件期望E(y|xI)的估計中,因此能夠同時對HDMR分解以及Sobol重要度指標進行估計。并針對這些估計分析了相應(yīng)的漸近收斂速度,從而指出其收斂速度不可能高于N-1/2； ·針對Borgonovo矩獨立指標估計中的雙重Monte Carlo(MC)密度估計的問題,分別采取了相應(yīng)的措施。首先利用一個核估計對條件密度積分進行轉(zhuǎn)化以避免雙重MC估計,然后又將密度范數(shù)的估計轉(zhuǎn)化為一個正交矩列的估計,從而建立了矩獨立指標的一類快速算法。 (4)根據(jù)圓柱螺旋線引入了漸近空間的相關(guān)概念。借助適當?shù)臐u近曲線,可以將任意的高維積分轉(zhuǎn)化為一個單變量積分,從而可以使用單變量的白適應(yīng)積分來估計高維積分。主要的結(jié)論有： ·討論了漸近曲線上的單變量積分與原始多變量積分之間的收斂性； ·針對漸近曲線上的近似積分建立了相應(yīng)的誤差估計,它表明相應(yīng)的誤差由函數(shù)本身的連續(xù)模數(shù)所控制； ·特別引入了一類球面上的漸近曲線,將其與Gauss公式相結(jié)合就可以應(yīng)用于三維偏微分方程弱形式的求解。
【關(guān)鍵詞】：函數(shù)逼近 收斂速度 誤差估計 Fourier級數(shù) Legendre級數(shù) 星形部分和 Jigsaw擬插值 再生核 HDMR分解 Sobol指標 Borgonovo指標 漸近空間
【學位授予單位】：西北工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：V221
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 第一章 緒論9-22
• 1.1 函數(shù)逼近與飛行器設(shè)計學科的關(guān)系10-13
• 1.2 問題陳述13-15
• 1.3 文獻綜述15-19
• 1.4 本文工作19-22
• 第二章 多重Fourier級數(shù)與Legendre級數(shù)的部分和22-57
• 2.1 多重Fourier級數(shù)22-24
• 2.2 多重Fourier級數(shù)的星形部分和24-28
• 2.3 多重Fourier級數(shù)的一個分解28-29
• 2.4 SK(f,x)的收斂性29-34
• 2.5 |Λ~—k|界的進一步討論34-37
• 2.6 SK(f,x)的誤差界37-41
• 2.7 SK(f,x)的可和性41-44
• 2.8 多重Legendre級數(shù)及其星形部分和44-48
• 2.9 S_K~L(f,x)的誤差界48-51
• 2.10 S_K~L(f,x)收斂階的進一步討論51-53
• 2.11 本章小結(jié)53-57
• 第三章 多元散點數(shù)據(jù)的Jigsaw擬插值57-105
• 3.1 Jigsaw函數(shù)族61-64
• 3.2 從分片插值到Jigsaw插值64-68
• 3.3 多元Jigsaw分解68-70
• 3.4 多級多項式Jigsaw擬插值P_(J,a)70-75
• 3.5 多級多項式Jigsaw擬插值P_(J,b)75-80
• 3.6 單變量多項式插值余項的一個注80-83
• 3.7 多變量多項式插值余項83-86
• 3.8 多級Jigsaw擬插值的一致誤差界86-89
• 3.9 多項式Jigsaw逼近和Jigsaw變換89-93
• 3.10 Jigsaw多項式空間的多分辨結(jié)構(gòu)93-96
• 3.11 多級常數(shù)Jigsaw擬插值P_(J,c)96-100
• 3.12 基于星形部分和的多級Jigsaw擬插值100-102
• 3.13 本章小結(jié)102-105
• 第四章 漸近空間積分法及其應(yīng)用105-118
• 4.1 漸近空間的概念和定義106-110
• 4.2 漸近空間積分法的收斂性110-113
• 4.3 漸近空間積分法的誤差估計113-116
• 4.4 漸近曲線的一個特例116-117
• 4.5 本章小結(jié)117-118
• 第五章 再生核方法及其應(yīng)用118-149
• 5.1 HDMR的截斷空間與再生核118-121
• 5.2 基于再生核的HDMR定義121-125
• 5.3 截斷空間S_l的兩種再生核125-128
• 5.4 基于再生核的l階HDMR估計128-132
• 5.5 截斷HDMR展開式估計實例132-135
• 5.6 Sobol靈敏度指標與濾波135-138
• 5.7 估計HDMR分解的核濾波方法138-144
• 5.8 HDMR核估計的數(shù)值誤差分析144-146
• 5.9 Sobol靈敏度指標的核估計146-148
• 5.10 本章小結(jié)148-149
• 第六章 概率密度重要度分析149-163
• 6.1 數(shù)學物理背景149-152
• 6.2 Borgonovo矩獨立重要度152-153
• 6.3 將雙重MC轉(zhuǎn)化為單重的核函數(shù)法153-155
• 6.4 (?)(x_i)的等價矩列估計155-158
• 6.5 δ_i的快速算法158-160
• 6.6 快速算法估計實例160-162
• 6.7 本章小結(jié)162-163
• 第七章 總結(jié)與展望163-167
• 參考文獻167-177
• 發(fā)表論文177-179
• 致謝179-180

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前1條

1 陳希孺;;ON THE PROBLEM OF BEST CONVERGENCE RATES OF DENSITY ESTIMATES[J];Chinese Annals of Mathematics;1984年02期

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本文編號：546262