本文關(guān)鍵詞：幾類美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的數(shù)值方法

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【摘要】：期權(quán)作為一種套期保值的重要金融工具,能夠有效地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),指導(dǎo)市場(chǎng)參與者進(jìn)行投資,在歐美國(guó)家一直深受歡迎.近年來(lái),隨著金融市場(chǎng)的不斷完善,以及人們對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的控制需求,使得期權(quán)在中國(guó)市場(chǎng)也得到了一定的發(fā)展,各種類型的期權(quán)產(chǎn)品應(yīng)市場(chǎng)參與者的需求而產(chǎn)生,成為金融市場(chǎng)交易的主要產(chǎn)品.與歐式期權(quán)相比,美式期權(quán)具有更大的靈活性,期權(quán)持有者可以在有效期內(nèi)的任何時(shí)間,根據(jù)市場(chǎng)價(jià)格的變化和本身的實(shí)際需要靈活而主動(dòng)地選擇履約時(shí)間,因此美式期權(quán)更受關(guān)注.美式期權(quán)由于具有可提前實(shí)施的特點(diǎn),且其價(jià)格隨市場(chǎng)供求關(guān)系而改變,如何選擇最佳實(shí)施時(shí)刻,以及給出合理的期權(quán)價(jià)格,將直接影響買賣雙方的盈虧狀況,這使得美式期權(quán)最佳實(shí)施邊界的確定和定價(jià)問(wèn)題成為期權(quán)交易的核心問(wèn)題.本文主要針對(duì)幾類美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的研究.以美式看跌期權(quán)為例,從標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)入手,由簡(jiǎn)入繁,逐步研究幾類更復(fù)雜的期權(quán).分析各類期權(quán)的求解難點(diǎn),提出有效的解決途徑,進(jìn)而設(shè)計(jì)出快速高效的數(shù)值方法.本論文主要分為以下四部分:1.美式期權(quán)的概述第一部分我們簡(jiǎn)要地回顧了期權(quán)的發(fā)展歷史和分類方式,并以美式看跌期權(quán)為例,重溫了Black和Scholes的重要工作,包括經(jīng)典的Black-Scholes模型滿足的前提假設(shè)、模型的建立及歐式期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)過(guò)程.進(jìn)一步,針對(duì)幾類典型的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行研究,總結(jié)了該問(wèn)題的研究現(xiàn)狀.在這部分的最后,簡(jiǎn)要介紹了本文的主要工作.2.標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題在第二章中,主要從標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)滿足的自由邊界問(wèn)題出發(fā),構(gòu)造了一種有效的、快速的、實(shí)用的數(shù)值方法.由于標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)存在看漲 看跌期權(quán)平價(jià)公式,因此我們只考慮美式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,其價(jià)格V(S,t)滿足的自由邊界問(wèn)題為:其中B(t)為最佳實(shí)施邊界,σ,r,q,K和T分別表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S的波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利率、敲定價(jià)格和合約的到期日.本章對(duì)模型(1)現(xiàn)有的研究成果做了一個(gè)簡(jiǎn)短的綜述,系統(tǒng)地分析了數(shù)值求解該問(wèn)題的本質(zhì)困難,并針對(duì)求解難點(diǎn),提出了行之有效的處理方案,具體分為兩部分:(a)模型(1)的空間求解區(qū)域左邊界B(t)是一條未知曲線,右邊界為正無(wú)窮,即求解區(qū)域既不規(guī)則又無(wú)界.幸運(yùn)的是front-fixing變換能夠較好的解決左邊界問(wèn)題,將求解區(qū)域由一個(gè)曲邊區(qū)域轉(zhuǎn)化為半無(wú)窮規(guī)則區(qū)域.對(duì)于無(wú)界區(qū)域的處理,本文將應(yīng)用完全匹配層(PML)技巧進(jìn)行截?cái)?它是一種有效的截?cái)喾椒?不僅能使截?cái)嗲蠼鈪^(qū)域相對(duì)較小,達(dá)到降低計(jì)算量的目的,還能夠減小數(shù)值反射,保證計(jì)算精度.至此,我們將模型(1)的求解區(qū)域化成了有界規(guī)則區(qū)域.(b)定價(jià)模型中的最佳實(shí)施邊界B(t)和期權(quán)價(jià)格V(S,t)都是未知的,且二者之間存在依賴關(guān)系,如何求解這個(gè)耦合系統(tǒng)成為算法是否成功的關(guān)鍵.受前人工作的啟發(fā),我們首先利用有限體積法對(duì)簡(jiǎn)化后的問(wèn)題進(jìn)行離散,然后采用Newton法交替迭代同時(shí)得到期權(quán)價(jià)格和最佳實(shí)施邊界(具體算法參見(jiàn)第二章).(c)數(shù)值模擬驗(yàn)證了算法的正確性和有效性.3.回望期權(quán)定價(jià)問(wèn)題第三部分由論文的第三章和第四章組成.這一部分主要研究回望期權(quán).與標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)相比,回望期權(quán)更為復(fù)雜,這類期權(quán)在到期日的收益不僅依賴于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)日的價(jià)格,還與在期權(quán)整個(gè)(或部分)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最大值或最小值密切相關(guān).本文主要針對(duì)美式回望看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行研究,對(duì)于看漲情形可利用類似技巧進(jìn)行處理.與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)定價(jià)模型相同,美式回望期權(quán)滿足的定價(jià)模型同樣有兩種形式:自由邊界問(wèn)題和線性互補(bǔ)問(wèn)題.這部分的主要工作就是針對(duì)定價(jià)模型的兩種不同表述形式,分別提出快速有效的數(shù)值方法,具體步驟如下:?第三章將從美式回望期權(quán)滿足的自由邊界問(wèn)題出發(fā),構(gòu)造數(shù)值算法.我們介紹美式回望看跌期權(quán)價(jià)格V(S,G,t)滿足的自由邊界問(wèn)題:其中未知函數(shù)B(t)是期權(quán)的最佳實(shí)施邊界,σ,r,q和T分別表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S的波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利率以及期權(quán)的到期日.Gt:=max0≤τ≤t Sτ是一個(gè)依賴路徑變量,利用方程描述定價(jià)模型時(shí),將其視為獨(dú)立變量,簡(jiǎn)記成G.通過(guò)觀察和分析回望期權(quán)定價(jià)模型(2),我們發(fā)現(xiàn)數(shù)值求解該模型的困難在于:(I)定價(jià)模型的空間求解區(qū)域?yàn)槎S無(wú)界不規(guī)則區(qū)域(由S=B(t)和S=G圍成的區(qū)域);(II)最佳實(shí)施邊界B(t)未知,且與期權(quán)價(jià)格V(S,G,t)存在依賴關(guān)系.針對(duì)上述的求解難點(diǎn),我們給出了相應(yīng)的處理技巧:首先,我們通過(guò)改變計(jì)價(jià)單位,將定價(jià)問(wèn)題降維,化成一維有界區(qū)間上的自由邊界問(wèn)題,進(jìn)一步,利用Landau變換將曲邊區(qū)域規(guī)則化成[0,1]區(qū)間.這樣,原定價(jià)模型就轉(zhuǎn)化成了[0,1]區(qū)間上的非線性拋物問(wèn)題.接下來(lái),我們針對(duì)[0,1]區(qū)間上的非線性拋物問(wèn)題設(shè)計(jì)算法,同時(shí)求解出B(t)和V(S,G,t).與標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)的求解方法類似,我們采用有限體積法離散簡(jiǎn)化后的問(wèn)題,然后利用Newton法交替迭代求解離散系統(tǒng)(具體算法參見(jiàn)第三章).最后,通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提算法的實(shí)用性和有效性.?第四章主要針對(duì)美式回望期權(quán)滿足的線性互補(bǔ)問(wèn)題進(jìn)行研究,提出更高效快速的求解方法.期權(quán)價(jià)格V(S,G,t)滿足的線性互補(bǔ)問(wèn)題為:其中本章的工作主要從以下幾個(gè)方面展開(kāi):(a)采用與自由邊界問(wèn)題相同的技巧,改變計(jì)價(jià)單位,將定價(jià)模型化為一維無(wú)界區(qū)間上的線性互補(bǔ)問(wèn)題.(b)利用最佳實(shí)施邊界的已知信息截?cái)嗲蠼鈪^(qū)域,給出精確的邊值條件.通過(guò)詳細(xì)的討論,得到一維有界區(qū)間上的線性互補(bǔ)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的變分不等式.需要強(qiáng)調(diào),為了保證變分形式的對(duì)稱正定性質(zhì),在推導(dǎo)過(guò)程中,我們采用了一些有技巧性的變換吸收了問(wèn)題的一階項(xiàng).(c)采用有限元方法離散得到的變分不等式,并利用投影收縮算法加速求解離散后的系統(tǒng).此外,我們對(duì)離散矩陣的對(duì)稱正定性也進(jìn)行了嚴(yán)格的證明(具體算法參見(jiàn)第四章).(d)數(shù)值模擬充分驗(yàn)證了投影收縮算法在計(jì)算速度上的優(yōu)勢(shì).4.多資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題在第五章中,我們主要對(duì)美式多資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.多資產(chǎn)期權(quán)是一種特殊的奇異期權(quán),它是多種標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)的投資組合,可起到不同于單資產(chǎn)期權(quán)的套期保值效果.與標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)相比,多資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)模型是一個(gè)高維自由邊界問(wèn)題或線性互補(bǔ)問(wèn)題,更難求解.本章將以美式看跌期權(quán)為例研究多資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,設(shè)計(jì)出高效的數(shù)值算法.為討論方便,我們僅考慮兩種標(biāo)的資產(chǎn)的情形,一般情形可以類推.設(shè)美式多資產(chǎn)看跌期權(quán)價(jià)格V(S1,S2,t)滿足其中定價(jià)模型(4)是一個(gè)二維無(wú)界區(qū)域上的拋物型線性互補(bǔ)問(wèn)題,在數(shù)值求解該問(wèn)題時(shí),我們將會(huì)遇到以下困難:(I)空間求解區(qū)域?yàn)槎S無(wú)界區(qū)域,難以直接應(yīng)用數(shù)值算法;(II)提出合理的算法求解線性互補(bǔ)問(wèn)題,得到期權(quán)價(jià)格V(S1,S2,t).對(duì)于前者,我們采用完全匹配層(PML)技巧進(jìn)行處理,該方法是一種對(duì)無(wú)界域問(wèn)題截?cái)嗟挠行Х椒?它是在求解區(qū)域的截?cái)嗵幪砑右粋�(gè)非反射的吸收層,減弱數(shù)值反射的影響,進(jìn)而保證計(jì)算精度.對(duì)于后者,我們通過(guò)引入懲罰項(xiàng)的方法將線性互補(bǔ)問(wèn)題化為一個(gè)非線性拋物問(wèn)題.進(jìn)一步,構(gòu)造了一種半隱半顯有限元方法(對(duì)于非線性項(xiàng)采用顯式形式,其他項(xiàng)用隱格式)求解該問(wèn)題(具體算法參見(jiàn)第五章).為了說(shuō)明所提算法的有效性,本文也做了一些重要的理論分析和數(shù)值模擬,主要包括:對(duì)半隱半顯有限元方法給出了收斂性分析;并對(duì)數(shù)值解的非負(fù)性給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的證明;通過(guò)將遠(yuǎn)場(chǎng)估計(jì)(FFE)方法與PML技巧進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了PML技巧的有效性.綜上所述,本文主要基于Black-Scholes模型,研究了幾類有代表性的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的數(shù)值方法,從理論上證明了算法的收斂性和解的非負(fù)性,從數(shù)值上驗(yàn)證了本文所提算法的正確性、有效性和實(shí)用性.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O241.82

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