倒向隨機微分方程是一個帶終端條件而不是初始條件的Ito型隨機微分方程。倒向隨機微分方程的線性形式由Bismut[7]引入,而非線性形式由Pardoux和Peng[39]、Duffie和Epstein [13]分別獨立引入。倒向隨機微分方程與一個正向隨機微分方程相藕合,形成了一個正倒向隨機微分方程.自從被引入以來,正倒向隨機微分方程在許多不同領(lǐng)域,特別在隨機控制、金融數(shù)學(xué)方面?zhèn)涫荜P(guān)注。比如：源自隨機最優(yōu)控制的經(jīng)典的哈密頓系統(tǒng)就是一類正倒向隨機微分方程；用于期權(quán)定價的Black-Scholes公式能夠通過正倒向隨機微分方程來表示得到。有關(guān)正倒向隨機微分方程的更多內(nèi)容,參見Ma和、'ong [34]、Yong和Zhou[70]的專著。由于正倒向隨機微分方程是很好的動態(tài)系統(tǒng),我們很自然地去考慮其系統(tǒng)下的隨機最優(yōu)控制和微分對策問題。本文將致力于研究完全和部分信息下的正倒向隨機微分方程的隨機濾波、最優(yōu)控制和微分對策。 Wang和Wu[54]首先研究了系統(tǒng)狀態(tài)和觀測方程由布朗運動所驅(qū)動的正倒向隨機系統(tǒng)的濾波理論.他們提出了一種倒向分離的技術(shù),而這種技術(shù)在解決部分可觀的最優(yōu)控制問題時比Wonham[59]的分離原理更方便.受Wang和Wu的工作的啟迪,我們研究了系統(tǒng)狀態(tài)和觀測方程由布朗運動和泊松過程聯(lián)合驅(qū)動的正倒向隨機系統(tǒng)的濾波方程,并將其應(yīng)用到一類帶隨機跳的部分可觀的最優(yōu)控制問題。由于泊松過程隨機跳躍的性質(zhì),我們得到了不同于Wang和Wu[54]的一些新的有趣的結(jié)果。 Shi和Wu[47]研究了一類帶隨機跳的部分藕合的正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制問題,Wu[61]研究了不帶跳的部分可觀的正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制,他們都要求控制域是凸的.Wang和Wu[55]則研究了控制域非凸、正向方程擴散項系數(shù)不含控制變量的部分藕合的正倒向隨機系統(tǒng)的部分可觀的最優(yōu)控制問題。基于前面的工作,Xiao[63]考慮了帶有隨機跳躍的部分藕合正倒向隨機系統(tǒng)、控制域是凸的情況下的部分可觀的最優(yōu)控制問題,得到了最優(yōu)控制需要滿足的一個必要條件和充分條件,將Shi和Wu[47]推廣到部分可觀的情況,將Wu[61]推廣到隨機跳的情況,也部分推廣了Liptser和Shiryayev [33],Bensoussan [6], Tang [50], Wang和Wu[54,55]的結(jié)果到隨機跳或者正倒向系統(tǒng)的情形。然而,前述工作都沒有考慮狀態(tài)和觀測有相關(guān)噪聲的情形。據(jù)我所知,目前僅有Tang[50]考慮了正向連續(xù)狀態(tài)與觀測過程具有相關(guān)噪聲的情況,得到了一般的隨機最大值原理。在這里,我們研究了具有相關(guān)噪聲的、帶有隨機跳躍的正倒向隨機系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.在凸控制域的條件下,我們得到了一個最大值原理和一個驗證定理.當(dāng)前的工作能夠包含Shi和Wu[47]、Wu[61]的結(jié)果,能夠部分推廣Shi和Wu[48]、Wang和Wu[55]到隨機跳躍,Tang和Hou [51]、Xiao[63]到相關(guān)噪聲,Tang[50]到正倒向跳擴散系統(tǒng),Peng[41]到部分信息的情形. 到目前為止,僅有兩篇文章考慮倒向隨機微分方程的微分對策問題：一篇是Yu和Ji[72],運用完全平方技術(shù)研究了線性二次非零和微分對策,得到了一個顯式的納什均衡點；另一篇是Wang和Yu[56],研究了非線性倒向隨機微分方程的微分對策問題,以最大值原理的形式給出了納什均衡點的充分和必要條件。上述對策問題都局限于倒向系統(tǒng)的研究,據(jù)我所知,Buckdahn和Li[8]、Yu[71]研究了正倒向系統(tǒng)的微分對策問題。在Buckdahn和Li[8]里,對策系統(tǒng)的值函數(shù)通過倒向方程在零時刻的解定義,進而證明了一個動態(tài)規(guī)劃原理,并揭示對策的上下值函數(shù)是Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程唯一的粘性解。最近,Yu[71]研究了正倒向系統(tǒng)線性二次非零和的對策問題.在本文,我們將要研究的是更一般的情形,即非線性的部分藕合的正倒向隨機微分方程的微分對策問題,聯(lián)合正倒向隨機微分方程理論和經(jīng)典的凸變分技術(shù),得到了非零和對策均衡點與零和對策鞍點的最大值原理和驗證定理。 為了更好地刻畫市場中所謂的非正常交易現(xiàn)象(比如內(nèi)部交易)以及尋找部分信息倒向重隨機微分方程線性二次非零和微分對策均衡點的顯式解,我們關(guān)心一類新的部分信息下起始點藕合的正倒向重隨機微分方程的微分對策問題。這類問題具有更廣泛的理論和實際意義。首先,正倒向重隨機系統(tǒng)包含許多系統(tǒng)作為它的特例。例如：如果我們?nèi)サ舻瓜騃to積分項,或者正向方程,或者兩者同時去掉,則正倒向重隨機系統(tǒng)退化為正倒向隨機系統(tǒng),或者倒向重隨機系統(tǒng),或者倒向系統(tǒng)；其次,所有的結(jié)果能夠退化成完全信息的情形；最后,如果當(dāng)前的零和隨機微分對策僅有一個參與者,則對策問題退化成一些相關(guān)的最優(yōu)控制問題。更詳細說的話,我們的結(jié)果是如下一些研究工作的部分推廣：部分信息倒向隨機微分方程和正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制(見Huang, Wang和Xiong [20], Xiao和Wang [64]),完全信息的倒向重隨機微分方程的最優(yōu)控制(見Han, Peng和Wu[18]),完全信息和部分信息的倒向隨機微分方程的微分對策(見Wu和Yu[56],Yu和Ji[72]Zhang [73],Wu和Yu[57]). 本文共分四章,主要結(jié)果如下。 第一章：我們對第二到第四章研究的問題進行了簡要的介紹。 第二章：我們研究了線性的帶隨機跳躍的正倒向隨機微分方程的隨機濾波。通過應(yīng)用得到的濾波方程,我們求解了一個部分可觀的線性二次的最優(yōu)控制問題,得到了一個顯式可觀的最優(yōu)控制。 定理2.1設(shè)條件(H2.1)和(H2.2)成立,方程(2.14)存在解,則狀態(tài)(x,y,z1,z2,r1,r2)的濾波估計(πt(x),πt(y),πt(z1),πt(z2),πt(r1),πt(r2))由(2.14),(2.22)和(2.23)表出,濾波估計πt(x)的條件均方誤差由(2.21)表出. 推論2.1假定a6(·)=a10(·)三0,即x(·)和N1(·)不會同時發(fā)生跳躍,則(2.14)變?yōu)?2.22),(2.23)和(2.21)仍然成立,其中相應(yīng)的a6(·)和a10(·)由零代替。 推論2.2如果c5(·)三0,即觀測過程Z(·)不會發(fā)生跳躍,則(2.24)仍是相應(yīng)的濾波方程,(2.22),(2.23)和(2.21)仍然成立. 定理2.2設(shè)條件(H2.1)-(H2.3)成立.則對任意的v(·)∈Uad,方程(2.30)的解xv(·)有濾波估計和這里采用了記號γ(t)=E[(xv(t)-πt(xv))2[FtZ]. 定理2.3設(shè)條件(H2.1)-(H2.4)成立,則(2.44)式表示的u(·)是前述的部分可觀的最優(yōu)控制問題的真正的最優(yōu)控制。 定理2.4設(shè)條件(H2.1)-(H2.4)成立,則最優(yōu)控制u(·)和相應(yīng)的泛函指標J(u(·))各由(2.44)和(2.54)表示。 第三章：我們研究了帶隨機跳躍的部分可觀的正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制問題,就狀態(tài)和觀測不相關(guān)和相關(guān)兩種情況進行了分別討論。我們以最大值原理形式確立了兩種情況下最優(yōu)控制的必要條件和充分條件,并舉了兩個例子來說明理論的應(yīng)用。 引理3.1設(shè)條件(H3.1)成立,則有 引理3.2設(shè)條件(H3.1)成立,則有 引理3.3設(shè)條件(H3.1)成立,則有如下的變分不等式成立： 定理3.1設(shè)條件(H3.1)成立,u(·)是我們隨機最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制,(x(·),y(·),z(·),r(·,·))是相應(yīng)的最優(yōu)軌跡,(p(·),q(·),k(·),L(·,·))是方程(3.19)的解。則我們有 定理3.2設(shè)(H31)和(H3.2)成立,zv(·)是FtY適應(yīng)的,u(·)∈Uad是一個容許控制,(x(·),y(·),z(·),r(·,·))是其相應(yīng)的軌跡.另設(shè)β(·)和(p(·),g(·),k(·),L(·,·))各自滿足(3.17)和(3.19),哈密頓函數(shù)H關(guān)于(x,y,z,r,v)是凸的,且那么u(·)是一個最優(yōu)控制。 定理3.3系統(tǒng)滿足(3.30)和(3.33),容許控制集Ud如(3.32)定義,選取v(·)∈Uad使(3.29)所表示的消費泛函達到最小,這表示了一個部分可觀的最優(yōu)控制問題,那么如(3.35)中所示的候選最優(yōu)控制u(·)是想要的唯一最優(yōu)控制,其顯式表達如(3.57)所示。 定理3.4設(shè)條件(H3.1)成立,容許控制集Uad如(3.1)定義,u(·)是一個最優(yōu)控制,{p,(Q,K,K,R),(q,k,k,r)}是方程(3.68)在控制u(·)下相應(yīng)的Ft適應(yīng)的平方可積的解,則最大值原理對任意的v(·)∈Uad都成立。 定理3.5設(shè)條件(H3.1)和(H3.2)成立,pv(·)是FtY適應(yīng)的,u(.)∈Uad是一個容許控制,其相應(yīng)的狀態(tài)軌跡為(x(·),y(·),z(·),z(·),r(·,·)).又設(shè){p,(Q,K,K,R),(q,k,k,r)}是方程(3.68)的解,哈密頓函數(shù)H(t,u(t))關(guān)于(x,y,z,z,r,v)是凸的,且有則u(·)是一個最優(yōu)控制。 第四章：我們首先研究了終端藕合的正倒向隨機微分方程的微分對策問題,給出了最大值原理形式的必要性條件和充分條件。這個研究的動機之一是為了尋找非線性期望下線性二次零和微分對策鞍點的顯式解。為了更好刻畫所謂市場中非正常交易現(xiàn)象(比如內(nèi)部交易)以及尋找部分信息倒向重隨機微分方程線性二次非零和微分對策均衡點的顯式解,我們接著研究了一類新的部分信息下起始點藕合的正倒向重隨機微分方程的微分對策問題。對非零和對策的納什均衡點和零和對策的鞍點,我們都給出了必要性條件和充分性條件。 引理4.1設(shè)條件(H4.1)成立,則對i=1.2,有下式成立： 引理4.2設(shè)條件(H4.1)和(H4.2)成立,則對i=1,2,下述的變分不等式成立： 定理4.1設(shè)條件(H4.1)和(H4.2)成立,(u1(·),u2(·))是問題Ⅰ的一個均衡點,(x(·),y(·),z(·))和(pi(·),qi(·),ki(·))是(4.10)和(4.23)相應(yīng)的解,則有和對任意的(v1(·),v2(·))∈U1×U2,a.e.a.s..成立。定理4.2設(shè)條件(H4.1),(H4.2),和(H4.3)成立,(u1(·),u2(·))∈U1×U2是一個容許控制,(x,y,z)和(pi,qi,ki)方程(4.10)和(4.23)相應(yīng)的解.假定 對任意的(t,a,b,c)∈[0,T]×Rn×Rm×Rm×d存在,對任意的t∈[0,T],關(guān)于(a,b,c)是凹的(Arrow條件),且則(u1(·),u2(·))是問題Ⅰ的一個均衡點. 定理4.3設(shè)條件(H4.1)和(H4.2)成立,(u1(·),u2(·))∈U1×U2是問題Ⅱ的一個鞍點,(x,y,z)和(p,q,k)是方程(4.10)和(4.23)的解,這里的哈密頓函數(shù)H1和H2如(4.37)和(4.38)定義.則有和對任意的(v1(·),v2(·))∈U1×U2,a.e.a.s.成立。 定理4.4設(shè)條件(H4.1),(H4.2)和(H4.3)成立,(u1(·),u2(·))∈U1×U2是一個容許控制,(x,y,z)和(p,q,k)是方程(4.10)和(4.41)的解。假定哈密頓函數(shù)H滿足如下的條件最小最大值原理：(ⅰ)設(shè)φ和γ都是凹函數(shù),對任意的(t,a,b,c)∈[0,T]×Rn×Rm×Rm×d存在,且關(guān)于(a,b,c)是凹的.則對任意的v2(·)∈U2,有和成立。(ⅱ)設(shè)φ和γ都是凸函數(shù),對任意的(t,a,b,c)∈[0,T]×Rn×Rm×Rm×d成立,關(guān)于(a,b,c)是凸的.則對任意的v1(·)∈U1,有和成立。 (ⅲ)設(shè)(ⅰ)和(ⅱ)都成立,則(u1(·),u2(·))是一個鞍點,且 定理4.5設(shè)條件(H4.4)成立,(u1(·),u2(·))是問題(NZSG)的一個均衡點,而且(y(·),z(·),Y(·),Z(·))和pi(·),pi(·),qi(·),qi(·))是方程(4.62)和(4.63)相應(yīng)于(u1(·),u2(·))的各自的解。則有和對任意的(v1(·),v2(·))∈U1×U2,a.e.a.s.成立。 推論4.1設(shè)條件(H4.4)成立,對任意的t∈[0,T],εt=Ft,(u1(·),u2(·))是問題(NZSG)的均衡點,而且,(y(·),z(·),Y(·),Z(·))和(pi(·),pi(·),qi(·),qi(·))是方程(4.62)和(4.63)相應(yīng)于(u1(·),u2(·))的各自的解。則有和對任意的(v1(·),v2(·))∈U1×U2,a.e.a.s.成立. 定理4.6設(shè)條件(H4.4)和(H4.5)成立,(y,z,YZ)和(pi,pi,qi,qi)是方程(4.62)和(4.63)相應(yīng)于(u1(·),u2(·))的解。假定φi和γi各自關(guān)于Y和y(i=1,2)是凹的,對任意的(t,y,z,Y,Z,)∈[0,T]×Rn×Rn×1×Rm×Rm×d,(y,z,Y,Z,v1)→H1(t,y,z,Y,Z,v1,u2(t),p1(t),p1(t),q1(t),q1(t)),(y,z,Y,Z,v2)→H2(t,y,z,Y,Z,u1(t),v2,p2(t),p2(t),q2(t),q2(t))是凹的,而且,則(u1(·),u2(·))是問題(NZSG)的均衡點。
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2011
【中圖分類】：F830;F224
【文章目錄】：
記號
中文摘要
英文摘要
第一章 引言
    1.1 跳擴散的正倒向隨機微分方程的濾波方程
    1.2 部分可觀的跳擴散正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制
    1.3 正倒向隨機系統(tǒng)的微分對策
第二章 跳擴散的正倒向隨機微分方程的濾波方程
    2.1 線性的帶跳擴散的正倒向隨機微分方程的濾波方程
    2.2 部分可觀的最優(yōu)控制問題
    2.3 結(jié)論評述
第三章 部分可觀的跳擴散正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制
    3.1 非相關(guān)的觀測噪聲
        3.1.1 最大值原理和驗證定理
        3.1.2 線性二次的例子
        3.1.3 結(jié)論評述
    3.2 相關(guān)的觀測噪聲
        3.2.1 最大值原理和驗證定理
        3.2.2 線性二次的例子
        3.2.3 結(jié)論評述
第四章 正倒向隨機系統(tǒng)的微分對策
    4.1 完全信息下終端藕合的正倒向隨機微分方程
        4.1.1 問題描述
        4.1.2 非零和情況
        4.1.3 零和情況
        4.1.4 非零和對策的例子
        4.1.5 結(jié)論評述
    4.2 部分信息下初始藕合的正倒向重隨機微分方程
        4.2.1 非零和情況
        4.2.2 零和情況
        4.2.3 結(jié)論評述
參考文獻
致謝
作者簡介
攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表和完成論文情況
學(xué)位論文評閱及答辯情況表

【參考文獻】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 吳臻;FORWARD-BACKWARD STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH BROWNIAN MOTION AND POISSON PROCESS[J];Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series);1999年04期

本文編號：2843423