【摘要】：本論文建立并研究了幾類受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型.首先,從嚴格數(shù)學(xué)意義上證明了這些模型的存在性、概率構(gòu)造和軌道刻劃等.然后,在建立的這些數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,研究模型的破產(chǎn)問題,具體研究了各種破產(chǎn)量,特別是Gerber-Shiu折罰函數(shù). 受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型是經(jīng)典風(fēng)險模型的推廣.經(jīng)典風(fēng)險模型只涉及兩個隨機過程(Poisson賠付計數(shù)過程和獨立同分布賠付額過程),而且兩個過程是獨立的.本論文研究的受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型,除了涉及兩個隨機過程(賠付計數(shù)過程和賠付額過程)外,還增加了一個Markov鏈(調(diào)控過程),甚至還有這三個過程以外的其它過程.這些過程不獨立,而是相依的,它們之間滿足某些相依關(guān)系.從數(shù)學(xué)角度看,風(fēng)險模型的存在性問題是首先要解決的.只有證明了模型的存在性,才能在此基礎(chǔ)上再研究模型的破產(chǎn)問題、最優(yōu)控制問題等等.利用獨立乘積空間技巧,經(jīng)典風(fēng)險模型的存在性是無容置疑的,數(shù)學(xué)上容易嚴格證明.但如果一個風(fēng)險模型涉及兩個或兩個以上的互相依賴的隨機過程(如受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型),證明風(fēng)險模型的存在性,就不能簡單地用獨立乘積空間技巧了.許多學(xué)者往往忽略這個問題,引進一些模型后就默認了模型的存在性.這是不可取的,也是不科學(xué)的.因此,本論文對新建立的受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型,嚴格地證明了模型的存在性,并進一步研究了風(fēng)險模型的概率構(gòu)造及性質(zhì).從創(chuàng)新點和內(nèi)容結(jié)構(gòu)兩個方面介紹如下. 一.論文的創(chuàng)新點. 本文的內(nèi)容,除了第1章緒論和第2章2.1至2.4節(jié)外,文中所有其他的內(nèi)容,即從第2章的2.5節(jié)直至本文最后的第7章,都是新的,都是作者的研究結(jié)果.具體地說,有下面7個方面的創(chuàng)新點. 1.提出用獨立乘積空間構(gòu)造相依隨機變量的組裝法 這里提出的“組裝法”,自認為并不是大的發(fā)明.但本文卻是首次系統(tǒng)地、明確地作為一種方法提出來,而且這個組裝法在本文中得到很好的、很充分的應(yīng)用,相信在構(gòu)造其他的相依隨機變量的情形也將是很有用的. 2.獲得了Markov鏈的若干新結(jié)果 Markov鏈的理論研究已經(jīng)很深入和豐富.雖然本論文主要是研究受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型,但我們也獲得了Markov鏈的若干新結(jié)果. (1).研究了Markov鏈的一種隨機時間替換.在一定假設(shè)下,時間替換后的鏈仍然具有Markov性. 一般情形Markov過程的時間替換早已有研究,要用到Markov過程的可加泛函等較高等的概念.本文研究的時間替換是在Markov鏈的初等框架下進行的. (2).證明了：由q過程和Markov風(fēng)險模型導(dǎo)出的幾個多維過程是時間齊次Markov鏈；獲得了一類有報酬的隨機過程的Markov性和時間齊次性. 3.對Markov風(fēng)險模型,獲得了其Gerber-Shiu折罰函數(shù)滿足的方程、遞推公式和解析表達式. 4.首次引進雙Markov風(fēng)險模型,求出了它的生存概率和條件生存概率. 5.解決了Markov調(diào)制風(fēng)險模型的存在性問題,給出了軌道刻劃和概率構(gòu)造.對附帶稅率的Markov調(diào)制過程,給出了軌道刻劃. 6.給出了Markov相依風(fēng)險模型的判別準則、必要條件和概率構(gòu)造,解決了模型的存在性問題和判別問題. 7.新引進了半Markov相依風(fēng)險模型,體現(xiàn)出“半”的意義.給出了模型的判別準則和一些必要條件,給出了概率構(gòu)造,也解決了模型的存在性問題和判別問題. 二.論文的內(nèi)容結(jié)構(gòu). 本論文總共7章,分兩部分. 第一部分(第1-2章).首先,介紹本文必需要的關(guān)于Markov鏈的基本理論知識.然后,給出了作者獲得的關(guān)于Markov鏈的若干新結(jié)果：關(guān)于q過程的一些新結(jié)果；Markov鏈的一種隨機時間替換；有報酬的隨機過程的Markov性和時間齊次性.再次,給出了用獨立乘積空間構(gòu)造相依隨機變量的組裝法. 第二部分(第3-7章).研究5類受Markov鏈調(diào)控的風(fēng)險模型.每章研究一個模型,對于每個模型,研究的內(nèi)容也不一樣,各有側(cè)重. 1. Markov風(fēng)險模型(第3章)：研究它的Gerber-Shiu折罰函數(shù),得到了Gerber-Shiu折罰函數(shù)滿足的積分方程、遞推公式、解析表達式. 2.雙Markov風(fēng)險模型(第4章)：研究它的生存概率和破產(chǎn)概率.首次提出雙Markov風(fēng)險模型.它是在Markov風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上,將賠付額過程推廣為一個Markov鏈.由于賠付時刻是一個Markov鏈(q過程)的跳躍點,賠付額也是一個Markov鏈,故提出的模型叫做雙Markov風(fēng)險模型.對于此模型的生存概率和條件生存概率,得到了它滿足的積分方程、它的遞推公式以及解析表達式. 3. Markov調(diào)制風(fēng)險模型(第5章)：研究它的存在性和軌道結(jié)構(gòu).Markov調(diào)制風(fēng)險模型前人已引進,但許多文獻中,對于Markov環(huán)境的依賴都是描述性的、不很清晰.本文給出了Markov調(diào)制風(fēng)險模型U=(A; J,S,X)的嚴格的數(shù)學(xué)定義,其中A=(C,Q,G,F)是模型U的特征組；給出了保費率、賠付時和賠付額依賴Markov環(huán)境的準確數(shù)學(xué)描述；模型的存在性和概率構(gòu)造；對附帶稅率的Markov調(diào)制過程,給出了軌道刻劃. 4. Markov相依風(fēng)險模型(第6章)：研究它的判別準則、必要條件和概率構(gòu)造,解決了模型的存在性和判別問題.Markov相依風(fēng)險模型是前人提出的,它涉及3個相依的隨機過程,而且3個隨機過程的相依關(guān)系是用一個公式“一攬子”描述的.這樣的3個過程,或者說,這樣的模型是否存在?兩兩的關(guān)系如何?如何判斷3個過程可否組成Markov相依風(fēng)險模型?有無判別準則?本章給出了回答. 5.半Markov相依風(fēng)險模型(第7章)：研究它的判別準則、必要條件和概率構(gòu)造,解決了模型的存在性和判別問題.Albrecher and Boxma(2005)中已經(jīng)引進了"Markov相依風(fēng)險模型”,其文中雖然提到“半Markov性”,但沒有體現(xiàn)出“半”的意義.本文引進的“半Markov相依風(fēng)險模型”,體現(xiàn)了“半”的意義.而且,作為特殊情形包含了Markov相依風(fēng)險模型,即本論文第6章中研究的模型.
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2014
【分類號】：F840;O211.62

【參考文獻】

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本文編號：2527222