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第 9 卷第 1 期 2009 年 10 月

經 濟 學 ( 季 刊) China Eco nomic Quarterly

中國高考錄取與博士生錄取的機制設計
摘　 　 要 學校錄取機制問題是一個教育界廣泛討論的話題 。本

文探討了目前高考錄取平行志愿制度的優(yōu)點和缺陷 , 提出降低投檔 比例 、打通不同院

校之間的專業(yè)志愿和增加志愿個數(shù)可以改進學生 的效用損失 。而博士生錄取是另外一種類型的非統(tǒng)一錄取學校錄取 機制問題 , 本文設計了一種偏好順序機制 , 并證明了這種機制是滿 現(xiàn)實中運用該機制的具體措施 。

足公平 、無浪費 、個人理性 、抗策略且帕累托最優(yōu)的 , 最后提出在 　　 關鍵詞 　 學校錄取問題 , 機制設計 , 帕累托最優(yōu)

一 、 　　 引 言

學校錄取機制問題是一個教育界廣泛討論的話題 。它主要分析在學校招 生名額有限的情況下 , 如何將有限的招生名額合理地分配給報考的學生 。學 校往往會根據(jù)多種條件來挑選學生 , 最主要的條件有入學考試分數(shù) 、平時的 成績和表現(xiàn) 、獲獎情況等 。而學生在報考的時候也會綜合考慮學校的名氣 、 綜合排名 、學科排名和所在城市等 。在考慮這些偏好的情況下 , 如何設計一 個讓學校和學生都滿意的錄取機制成為一個很有意義的話題 。 高考志愿填報制度改革是高考招生制度改革的重要組成部分 。教育部
2008 年開始在全國推廣平行志愿錄取制度 。從填報時間順序來看 , 平行志愿

制度可分為考前平行志愿 、考后估分平行志愿和考后出分平行志愿三種 。從 平行志愿的個數(shù)來看 , 湖南省 、江蘇省和浙江省第一個批次設 3 個平行志愿 , 上海市第一個批次設 4 個平行志愿 。

除了高考錄取制度 , 另一類型的錄取制度就是以我國博士生招生制度為
3 廈門大學王亞南經濟研究院 。通信地址 : 福建省廈門市廈門大學王亞南經濟研究院博士生信箱 , 361005 ; 電話 : (0592) 2573015 ; E2mail :wendyeye @gmail . co m 。作者感謝中國人民大學經濟學院承辦的 教育部 “企業(yè)理論前沿與中國制度變遷” 研究生暑期學校提供學習機會 ,以及明尼蘇達大學經濟系鐘創(chuàng)修

副教授提供的機制設計課程講義和參考文獻 。廈門大學王亞南經濟研究院方穎老師以及楊廣亮和蘇佳 同學的評論對本文亦有貢獻 。作者同時非常感謝兩位匿名審稿人中肯的修改意見 。當然 , 文責由作者 自負 。

魏立佳 3

Vol1 9 , No1 1 Octo ber , 2009

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代表的非統(tǒng)一錄取制度 , 其特點是各高校自主命題 、自主劃線 、自主錄取 , 各校之間不存在一個統(tǒng)一的錄取過程 。實際上 , 考生普遍采取報考多所學校 的策略來降低博士生招考的風險 。在被多個大學錄取的情況下 , 考生最后會 拒絕某些高校的擬錄取 , 這往往會導致一部分錄取名額的浪費 。 本文從兩個方面對學校錄取機制做了研究 。首先 , 分析了我國高考平行 志愿錄取制度的性質和優(yōu)缺點 , 重點研究了平行志愿的志愿個數(shù)和志愿填報 方式等方面的問題 , 并為目前平行志愿制度的改進提出了三點建議 。其次 , 本文將我國的博士生錄取機制作為一個學校錄取問題來研究 , 基于對傳統(tǒng)學 校錄取機制理論的分析和創(chuàng)新 , 提出了在非統(tǒng)一和單次錄取限制條件下的新 錄取機制 。 本文分成六個部分 : 第一部分是引言 , 第二部分是學校錄取問題的理論 和文獻的回顧 , 第三部分介紹學校錄取機制的基本原理 , 第四部分討論目前 高考平行志愿錄取機制的優(yōu)缺點和改進構想 , 第五部分討論非統(tǒng)一錄取的學 校錄取機制 , 第六部分是結論和討論 。

二、 理論及文獻回顧
學校錄取的問題從古代學校產生的年代就被提了出來 , 經過多年的演變 和應用自 發(fā) 形 成 了 多 種 學 校 錄 取 機 制 , 包 括 波 士 頓 機 制 等 ( Ergin and S nmez , 2006) 。首先將學校錄取問題作為一個機制設計問題來研究的是 Gale and Shapley ( 1962) , 他們在這篇經典論文中提出了 Gale2Shapley 機制 , 證明了這種機制總是穩(wěn)定并且帕累托最優(yōu)的 , 并把 Gale2Shapley 機制運用到 婚姻問題和學校錄取問題的研究上 。 學校錄取機制中的另一個重要問題是其抗策略的性質 ( 聶海峰 ( 2007 ) 將其翻譯為抗操縱 ) 。Dubins and Freedman ( 1981 ) 證明了 Gale2Shapley 機 制是 抗 策 略 的 。在 此 之 后 , Rot h ( 1982a , 1982b ) 、Balinski and S nmez ( 1999) 和 A bdulkadiroglu and S nmez ( 2003) 的一系列論文較全面地討論了
Gale2Shapley 機制的帕累托最優(yōu)和穩(wěn)定性等問題 。

ley 機制 。但是受到時間 、人力 、財力的限制 , 在學校錄取領域往往無法完全

運用最理想的機制來進行招生 。特別是在計算機還沒有普及使用的年代 , 過 于復雜的機制算法不但使教育主管機構無法承受 , 更容易在操作過程中產生 錯誤 。因此 , 國外和國內經常應用的學校錄取機制都是算法最為簡便的波士 頓機制 , Gale2Shapley 機制在學校錄取問題方面僅僅停留在理論階段 。 Gale2Shapley 機制并不是唯一可以達到帕累托最優(yōu)的學校錄取機制 , Sha2 pley and Scarf ( 1974 ) 在其分析住房市場的論文中首先提出了最優(yōu)交易循環(huán) 機制的思想 。Rot h and Po stlewaite ( 1977 ) 在其分析住房分配市場分配的論

Rot h ( 1984) 發(fā)現(xiàn)美國的實習醫(yī)生進入醫(yī)院的分配方式類似 Gale2Shap 2

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一次成為熱點問題 , 一些學校錄取機制理論開始運用到實際中來 , 包括香港 的大學錄取制度 、紐約和波士頓地區(qū)的高中錄取制度等 。 A bdulkadiroglu and S nmez ( 2003) 擴展了最優(yōu)交易循環(huán)機制 , 并證明 了該機制也是帕累托最優(yōu)和抗策略的 , 還討論了在約束條件下兩種最優(yōu)機制 的運用 。Abdulkadiro glu 在 2005 年又連續(xù)發(fā)表了兩篇論文分別介紹了最優(yōu)機
1 制在紐約地區(qū)和波士頓地區(qū)實際運用的情況 。 在其后的論文中 , Abdulkad2 iroglu 等人運用波士頓 ( Abdulkadiroglu , Pat hak , Rot h and S nmez , 2006 )

ley 機制和最優(yōu)交易循環(huán)機制 , 得出的結論是后兩種機制要遠優(yōu)于波士頓機

異的原因可能在于學生對兩種機制的理解程度存在差異 。 Zho u ( 1990) 證明了按某一種次序對學生進行排序的獨裁機制是帕累托

最優(yōu)和抗策略的 。聶海峰 ( 2007) 認為現(xiàn)行的中國高考平行志愿是一種分數(shù) 獨裁機制 , 這種機制對原有的機制是一種帕累托改進 , 并給出分數(shù)獨裁機制 的算法 。

學校錄取名額 = { qC1 , qC2 , qC3 , …, qCn } ; T Ci = 學校 Ci 對學生 S 的評價集 =

上學 。

1 Abdulkadiroglu 和 S nmez 等人發(fā)表的文章中 , 研究的問題為擇校問題 ( school choice problem) 。Ab2 dul kadiroglu 和 S nmez 認為擇校問題與學校錄取問題的區(qū)別在于 , 擇校問題中學校僅僅相當于學生消 費的物品 ,學校沒有自己的不同偏好 ; 而在學校錄取問題中 ,學校可以對學生有自己的不同偏好 。擇校問 題是學校錄取問題的一個特例 ,機制算法相同 ,本文將擇校問題包含在學校錄取問題內一并討論 。

制 , 但 Gale2Shapley 機制在實際運用中效果最好 。兩種最優(yōu)機制實際運用差

文中把它歸納為最優(yōu)交易循環(huán) ( Galeπs Top t rading cycles) 機制 。

隨著 20 世紀 90 年代以來計算機的不斷普及使用 , 學校錄取機制理論又

和紐約市 ( Abdulkadiroglu , Pat hak and Rot h , 2008) 改進機制前后的錄取數(shù)

據(jù)對新機制的福利改進進行了分析 。 Chen and S nmez ( 2006) 用實證的方法比較了波士頓機制 、 Gale2Shap 2

三、 學校錄取問題的基本原理

( 一) 學校錄取問題的概念

　　 學校錄取問題可以用以下數(shù)學表達來表示 :

S = 學生集 = { S 1 , S 2 , S 3 , …, S m } ; C = 學校集 = { C1 , C2 , C3 , …, Cn } ; Q =

{ T Ci ( S 1 ) , T Ci ( S 2 ) , T Ci ( S 3 ) , …, T Ci ( S m ) } ; P = 學生對學校的偏好集 = { PS 1 ,

PS 2 , PS 3 , …, PS m } , 其中 PS k 為學生 S k 對 C ∪ C0 } 的偏好排序 , 其中 C0 為不 {

定義 1 　 匹配 μ: S →C ∪ C0 } , 滿足 Π Ci , | μ- 1 ( Ci ) | ≤qCi 。 {

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定義 2 　 機制 M : P → 所有的匹配 μ。 定義 3 　匹 配 μ 是 公 平 的 ( fair ) 2 : 如 果 Π S 1 , S 2 , Ci = μ ( S 1 ) , μ( S 1 ) PS2μ( S 2 ) ] T Ci ( S 1 ) > T Ci ( S 2 ) 。
2

注釋 : 如果對于任意的學生 S 1 、S 2 , S 2 更偏好于錄取 S 1 而沒有錄取他 的學校 Ci , 則 Ci 對 S 1 的評價一定高于對 S 2 評價 。
]

注釋 : 對于任意學生 S k 和學校 C i , 如果學生 S k 更偏好于沒有錄取他的 學校 C i , 則 Ci 一定已經錄滿了 q Ci 個學生 。

　　 學校錄取問題 ( school admissio n p ro blem) : 是否能找到一個機制 M , 使 其滿足公平 、無浪費 、個人理性 、抗策略且對于學生是帕累托最優(yōu)的 ?
( 二) 四種學校錄取機制的區(qū)別和特點

類機制的特點是 , 通過算法使學生在各學校的考慮名單中循環(huán) , 在算法結束 以后都能得到一個滿足公平性 、無浪費 、個人理性 、抗策略且帕累托最優(yōu)的

聶海峰 ( 2007) 給出的公平定義包含了本文的公平和無浪費兩個獨立的定義 。然而 , 錄取機制是完全可 以只滿足公平和無浪費中的一個性質的 , 本文命題 3 、 命題 4 證明了這一點 。

目前學術資料中得到研究的有四種學校錄取機制 , 包括 Gale2Shapley 機 制 、最優(yōu)交易循環(huán)機制 、波士頓機制和分數(shù)獨裁機制 。本文根據(jù)他們算法的 不同將其劃分為兩種類型 : 循環(huán)完備學校錄取機制和單次效率學校錄取機制 。 循環(huán)完備學校錄取機制包括 Gale2Shapley 機制和最優(yōu)交易循環(huán)機制 , 這

定義 5 　 匹配 μ是個人理性的 ( individually rational ) : Π S k , μ( S k ) RS k C0 ; 其中 A RS k B Ζ A PS k B 或者 A = B 。 注釋 : 對于任意的學生 S k , 所有的匹配一定好于或等于沒有學校可去 。

人不采取策略時的機制 。 注釋 : 對于任意學生的真實偏好和策略偏好 , 機制總會使報告真實偏好 的結果好于或等于報告策略偏好的結果 。學生報告策略偏好的原因是他們相 信報告策略偏好會使錄取結果好于報告真實偏好 。 定義 7 　 匹配 μ對學生是帕累托最優(yōu)的 ( Pareto efficient ) : 不存在另一個 匹配 μ 滿足 Π S k , μ ( S k ) R S kμ( S k ) , ? S l , μ ( S l ) PS lμ( S l ) 。 ′ ′ ′ 注釋 : 對于任意的學生 , 不存在另一個匹配 μ 可以對μ 做帕累托改進 。 ′

定義 6 　機 制 M 是 抗 策 略 的 ( st rategy2p roof ) : 如 果 Π PS k , Π S k , Π P′, M ( P) R S k M ( P′, P - S k ) , 其中 M ( P′, P - S k ) 表示 S k 采取策略而其他 Sk Sk Sk

定義 4 　 匹配 μ是無浪費的 ( non2wasteful ) : 如果 Π S k , Π Ci , Ci P S kμ( S k ) - 1 | μ ( Ci ) | = qCi 。

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算法 。 單次效率學校錄取機制包括波士頓機制和分數(shù)獨裁機制 , 其特點是學校 只會順序考慮每個學生的志愿 , 若錄取名額未用完則一次性錄取學生 , 錄取 算法比較簡單 , 錄取過程效率很高 。波士頓機制既不是公平的 , 也不是帕累 托最優(yōu)和抗策略的 。但是波士頓機制是算法最簡單 、分配學生效率最高的一 種算法 , 波士頓算法最多僅需要 n 步即可完成整個算法 , 因此在計算機普及 使用之前被廣泛地運用于學校錄取過程 。當每個學校對所有學生偏好相同 ( 更偏好于分數(shù)高的學生) 時 , 通常被使用的是分數(shù)獨裁算法 。分數(shù)獨裁機制 最多也僅需要 m 步即可完成整個算法 , 是一個既有效率又達到了帕累托最優(yōu) 的機制 , 但是沒有考慮學校之間的偏好差別 , 目前被運用于高考錄取平行志 愿中 。這四個機制的算法收錄在本文的附錄 A 中 。

近年 , 高考錄取機制有了非常大的改革 , 從原有錄取方式逐漸變?yōu)槠叫?志愿錄取方式 ( 近似于分數(shù)獨裁機制) 3 , 聶海峰 ( 2007 ) 認為平行志愿方式 在不考慮志愿個數(shù)的情況下是帕累托最優(yōu)的和抗策略的 。這種機制中 , 學生 被按照高分到低分依次考查志愿錄取 , 每個學生在自己的錄取過程中都會依 次考查第一志愿 、第二志愿到最后一個志愿 , 相比過去更容易被同一批次的 高校錄取了 。分數(shù)獨裁機制幾乎完全取消了高校在招生中的自主權 , 要求各 高校按照高分到低分依次錄取 , 同分的則按照單科成績依次錄取 。 但是 , 平行志愿錄取方式也有其明顯的缺陷 。 第一 , 平行志愿錄取方式損失了高校招生的自主性 , 如果不考慮調檔比 例 , 高考招生幾乎可以由計算機系統(tǒng)代替完成 , 各高校對于學生個體的不同 評價無從體現(xiàn) , 變成了所謂的 “唯分數(shù)錄取” 。但在高考這種全國范圍的基礎 人才選拔考試中 , 錄取公平和學生效用的維護顯然是更重要的 , 因此學校利 益的部分損失是可接受的 。 第二 , 平行志愿錄取方式為了保證高校自主權 , 保留了一定的調檔比例 ( 例如上海市高招的調檔比例是 105 %) , 被退檔的學生不能進入下一志愿的錄 取 , 只能到下一批次去錄取 , 這意味著被退檔學生的效用會受到重大的損失 。 第三 , 平行志愿錄取方式在一個院校志愿中可以按順序填報數(shù)個專業(yè)志
3 現(xiàn)行高考的平行志愿錄取機制是一個不考慮各高校偏好的錄取機制 , 學校僅作為學生 “消費” 的目標而 存在 , 所以是一個擇校問題 。但是因為算法相同 , 本文不作特別討論 。

匹配方案 。Gale2Shapley 機制的效率較低 , 它最多要用 n ?m 步才能完成整個
n

算法 。最優(yōu)交易循環(huán)機制的效率較高 , 它最多需要

i =1

∑q

Ci

步就可以完成整個

四、 高考平行志愿機制的分析與改進

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愿 , 只有所有專業(yè)志愿都沒有錄取的情況下 , 才會考慮下一個院校志愿 。這 體現(xiàn)了學生對不同學校的偏好和對校內不同院系的偏好 , 但是卻沒有體現(xiàn)不 同學校之間院系的偏好 , 也使平行志愿錄取方式不可能達到帕累托最優(yōu) 。 例 1 　 院校有兩個專業(yè) —— A — 經濟學 A E 和計算機技術 A C , B 院校也有兩 個專業(yè) —— — 經濟 學 B E 和 計 算 機 技 術 B C , 某 學 生 對 這 四 個 專 業(yè) 的 偏 好 是 A E P S B E P S B C P S A E , 如果該生第一志愿報考 A 院校而沒有被經濟學錄取的 話 , 他很有可能被偏好最低的 A 院校計算機系錄取 。 第四 , 平行志愿錄取方式設定的志愿個數(shù)與招生學校個數(shù)之間相差很大 , 在這種情況下學生會采用一定的策略 , 即使被平行志愿錄取方式順利錄取也 會出現(xiàn) “高分低就”和效用損失 。 ) ) 如果某學生的考試分數(shù)為θ, θ是分布函數(shù)為 F (θ 的隨機變量 , f (θ 連續(xù) 且一階可導 。學生填報志愿的學校的錄取分數(shù)為 θ , 志愿個數(shù)為 N ( N ≥ ) , 1 i θ θ 學生在θ下的效用函數(shù)為 < (θ) ( < ( ? > 0 , θ ≤ ≤ i + 1 ) , <(θ) 連續(xù)且一階可 ′ ) i i i 　　 命題 1 　 在平行志愿錄取方式中 , 對于給定的志愿個數(shù) N , 不管學生以何 種方式 A N 填報這 N 個志愿 , 在給定 N + 1 個志愿時總存在填報方式 B N + 1 , 使填報方式 B N + 1 的效用大于 A N 。 對學生越有利 。 θ U = E< ( i ) 　 + … + <(θ - 1 ) [ F ( b) - F (θ ) ]. N N θ θ θ θ = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( 2 ) - F ( 1 ) ]

導 。所有學校的錄取分數(shù)在 [ a , b] 上服從均勻分布 , a 是某批次高校的錄取分 數(shù)線 , b 是某批次高校的最高錄取分數(shù) , 且學生為了保證被錄取 , 總有一個志 愿填報在 a 處 , 則平行志愿下的學生效用可以用如下算式表示 :

　　 N + 1 個志愿時的填報方式 B N + 1 不一定是 N + 1 個志愿個數(shù)時的最優(yōu) 在 填報方式 , 可以有多種填報方式都優(yōu)于 A N 。換句話說 , 就是志愿個數(shù)越多 ,

命題 2 　 給定填報志愿的個數(shù) N , 必能在 [ a , b]上找到 N 個志愿個數(shù)時的 最優(yōu)填報方式 , 使學生的效用 U 最大 。

　　 根據(jù)上面的命題我們可以看出 , 在被平行志愿錄取方式順利錄取的情況 下 , 志愿個數(shù)越多 , 學生效用越大 。增加平行志愿的個數(shù)可以顯著增加學生 的效用 。 因此 , 在目前平行志愿的模式下 , 效用的損失可以通過三種方式降低 : 降 低投檔比例 、打通不同院校之間的專業(yè)志愿和增加志愿個數(shù) 。由于分數(shù)獨裁機 制的“獨裁”特性 , 降低投檔比例同時會降低高校的招生自主權 , 這兩點是魚 與熊掌不可兼得的。要完全解決學校錄取機制中的帕累托最優(yōu)的問題 , 還有賴 于采用 Gale2Shapley 機制或者最優(yōu)交易循環(huán)機制 , 這些機制國外已經有了成功

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運用的經驗 , 而且也適用于高考統(tǒng)一錄取的特點 。其實施的關鍵在于各高校 、 各專業(yè)需對自己的偏好進行具體量化 , 變成計算機可識別的指標。

五、 單次非統(tǒng)一錄取機制的優(yōu)化設計
博士生招生考試是一種完全不同于高考的考試形式 , 它是由各個大學和 研究機構自行組織初試 、復試和確定擬錄取名單的 , 每年錄取一次 , 其考試 時間和擬錄取名單的發(fā)布時間也是自行確定的 , 并不存在一個統(tǒng)一的考試和 錄取系統(tǒng) 。在時間許可的情況下 , 學生可以志愿報考任意多所學校 , 在通過 初試和復試后 , 也可以同時被多所學校擬錄取 , 且學生拒絕已經擬錄取他的 學校的成本為零 。招生單位的擬錄取名單一旦確定就將交教育主管部門審批 , 通過審批后無法更改錄取名單 , 因此博士生招生錄取也是一個單次錄取機制 。 這種機制下 , 在偏好較高的學校還沒有通知擬錄取學生之前 , 學生不會 拒絕偏好較低學校對他的擬錄取 , 但之后會拒絕偏好較低的擬錄取學校不去 就讀 。這對學校和其他考生而言都會帶來效用的損失 。 高考平行志愿錄取中存在的各種問題都可以在技術條件成熟的情況下采 用 Gale2Shapley 機制或最優(yōu)交易循環(huán)機制來解決 。但對于博士招錄 , 各高校 通常只舉行一次初試和復試 , 而且沒有一個統(tǒng)一的錄取系統(tǒng)來保證學生在各 高校中正常循環(huán) , 因此 “天生”無法采用 Gale2Shapley 機制和最優(yōu)交易循環(huán) 機制 , 所以研究其他機制來降低學校和學生的損失是很有必要的 。 本文將目前博士生招生考試的錄取機制稱為單次非統(tǒng)一錄取機制 , 這種 機制與其他錄取機制的區(qū)別與聯(lián)系見表 1 。
表1　 各類學校錄取機制 循環(huán)機制 單次機制 統(tǒng)一錄取機制 非統(tǒng)一錄取機制 　　 : 括號內是各類機制在現(xiàn)實中的運用 。 注

為了分析博士生錄取的機制 , 首先給出以下兩個定義 : 擬錄取 μ( S k ) : 擬錄 取學生 S k 的 高 校 集 合 為 C S k = { Ci , Cj , …, Ck } 5 ,

4

婚姻問題也是學校錄取問題的一個特例 , 區(qū)別在于婚姻問題的被追求方 ( 對應學校) 只有一個匹配名額

( Rot h , 1985) 。

5 由于博士生的專業(yè)化程度很高 , 因此其只能報考某高校特定的學科專業(yè) , 報考學科專業(yè)的集合和高校 集合是一一對應的 。因此 , 本文在定義 “擬錄取” 的過程中直接用高校集合替代了專業(yè)方向的集合 。同 樣 , 通知擬錄取學生的時間也是高校特定學科專業(yè)的擬錄取時間 , 對同一個高校不同的專業(yè)學科 , 通知擬 錄取的時間可以不同 ( 按照學院或系來通知擬錄取) 。

Gale2Shapley 機制 , 最優(yōu)交易循環(huán)機 制 ( 香港的大學錄取) Gale2Shapley 機制 , 最優(yōu)交易循環(huán)機 制 ( 婚姻問題4 )

波士頓機制 , 分數(shù)獨裁機制 ( 中國高考平行志愿)

(中國博士生錄取 ,應屆畢業(yè) 生錄用)

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μ( S k ) ∈CS k 。 S k , Π Ci , 如果有 T Ci ( S k ) ≥T Ci ( S qC ) , 則學校 C ∈CS k , 其中 Π i
S qC 是學校 C i 評價集從大到小排列的第 q Ci 個學生 。
i

擬錄取學生的時間 : OC = 通知擬錄取學生時間集 = { O1 i , O2 j , …, On k } , C C C
l k l

其中 O Ci 表示學校 C i 第 l 個開始通知擬錄取學生 , OCj < OCi ( 1 ≤k < l ≤n) 表示
Cj 的擬錄取時間早于 C i 。

為了分析的簡便 , 本文假設學生在同一時間只保留一個擬錄取自己的學 校 ( 當獲得兩個學校的擬錄取時 , 會選擇保留偏好較高的一個學校擬錄取名 額 , 立即拒絕偏好較低學校的擬錄取) , 還假定每個學生報考了所有偏好次序 高于 C0 ( 參加工作) 的學校 。學校只能觀察到該學生報考了本校 , 無法觀察 到他是否報考了其他學校 。 單次非統(tǒng)一錄取機制的算法為 : 1 第一步 , 錄取時間為 OCi 的高校從所有學生中擬錄取 q Ci 名學生 , 通知擬 錄取學生 , 拒絕其他學生 。 2 第二步 , 錄取時間為 OC j 的高校從所有學生中擬錄取 q C j 名學生 , 通知擬 錄取學生 ; 如果 Cj 在 O C j 時被拒絕 , 則可繼續(xù)補錄剩下的學生中最為偏好的 , 直至錄滿 qC j 名學生 , 并拒絕其他學生 。
n n

2

第 n 步 , 錄取時間為 OCk 的高校從所有學生中擬錄取 q Ck 名學生 , 通知擬

錄取學生 ; 如果 Ck 在 O Ck 時被拒絕 , 則可繼續(xù)補錄剩下的學生中最為偏好的 , 直至錄滿 qCk 名學生 , 并拒絕其他學生 。 該算法一共 n 步 , 當所有的學校均錄取一次之后結束 。

命題 3 　對于 單次非 統(tǒng)一 錄取 機制 M , 如果 ? S k 、 S l , Ci 、 Cj ∈CS k , OC j < OCi , 且 Ci P S k C j , Cj P S lμ( S l ) , 則機制 M 不是一個無浪費和帕累托最優(yōu) 的機制 。 命題 4 　 單次非統(tǒng)一錄取機制 M 是公平 、個人理性和抗策略的 。

　　 由此可見 , 除非所有學生最先被自己最偏好的學校錄取 , 否則運用單次 非統(tǒng)一錄取機制總會使學校和學生的效用受到損失 。因此 , 我們很有必要對 博士生招考機制做深入的分析 , 提出可行的新機制 。 首先 , 博士生各招生單位對所招學生的偏好各不相同 , 招生考試的內容 、 時間和評價手段都有很大的差異 , 因此也無法使用統(tǒng)一招生機制 。必須在招 生單位各自組織招生考試的框架下進行機制設計 。其次 , 博士生考試這種專 業(yè)化程度很高 、挑選某一方面高層次人才的考試 , 學生一般都只會選擇不同

學校的同一個專業(yè)方向進行報考 , 而國內各高校某一個專業(yè)方向的教學和科 研實力排序 , 在業(yè)內是有一個比較明確的結論的 ( 包括重點學科排名等) , 因 此我們假定學生對學校的偏好是唯一確定的 。最后 , 博士生考試是為國家培 養(yǎng)非常專業(yè)化的高級研究人才的 , 這些人才必須先滿足各培養(yǎng)單位的不同需

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求 , 再滿足學生對培養(yǎng)單位的偏好 。 在統(tǒng)一錄取的情況下 , 分數(shù)獨裁機制是能得到帕累托最優(yōu)和無浪費的 。 本文根據(jù)非統(tǒng)一錄取的要求 , 將非統(tǒng)一錄取和分數(shù)獨裁機制6 、學生最優(yōu)算法 和學校最優(yōu)算法7 的特點結合起來 , 設計了新的機制 : 偏好順序非統(tǒng)一錄取 機制 。 假設所有學生對學校的偏好集合 P = { PS1 , PS2 , PS3 , …, PS m } , 滿足 PS1 =
PS 2 = …= PS m , 其中 PS 是學生除去參加工作 C0 后的偏好序列 , C 是學生第
i

-

-

-

-

i 偏好的學校 。

偏好順序非統(tǒng)一錄取機制的算法是 : 第一步 , C1 從所有學生中擬錄取 qC1 名學生 , 第一個通知擬錄取學生 , 并 拒絕其他學生 。 第二步 , C2 從所有學生中擬錄取 qC2 名學生 , 第二個通知擬錄取學生 ; 如 果 C2 在此步被拒絕 , 則可繼續(xù)擬錄取剩下的學生中最為偏好的 , 直至錄滿
qC2 名學生 , 并拒絕其他學生 。

第 n 步 , Cn 從所有學生中擬錄取 q Cn 名學生 , 第 n 個通知擬錄取學生 ; 如 果 Cn 在此步被拒絕 , 則可繼續(xù)擬錄取剩下的學生中最為偏好的 , 直至錄滿
qCn 名學生 , 并拒絕其他學生 。

命題 5 　偏好順序非統(tǒng)一錄取機制 M 是無浪費且對于學生是帕累托最 優(yōu)的 。 命題 6 　 偏好順序非統(tǒng)一錄取機制 M 既滿足學生的帕累托最優(yōu) , 又滿足 學校的帕累托最優(yōu) 。 　　 本文提出的偏好順序非統(tǒng)一錄取機制完全滿足了學校錄取問題所提出的 五個要求 : 公平 、無浪費 、個人理性 、抗策略且帕累托最優(yōu) 。在這種機制下 , 每個學校和學生的效用都為最大 , 解決了單次非統(tǒng)一錄取機制下的效用損失 問題 。 在現(xiàn)實的博士生招生錄取過程中 , 能夠觀察到教學和科研實力強的大學 和研究所往往率先于每年的三月就開始入學考試 , 而實力較弱的學校通常則 選擇四月進行筆試 。通知擬錄取學生的時間順序不一定就等于筆試的時間順 序 , 根據(jù)單次非統(tǒng)一錄取機制 , 最終決定學校是否有名額被浪費的是通知擬 錄取學生的時間順序 。 那么 , 偏好順序非統(tǒng)一錄取機制如何在現(xiàn)實的博士生招生錄取過程中實
6 7

分數(shù)獨裁機制的特點是把學生按分數(shù)排序 , 新機制則是把學校按照學生的統(tǒng)一偏好排序 。 新機制的算法實際上包含兩部分 :學生報考學校 ( 學生最優(yōu)算法) 、 學校擬錄取學生 ( 學校最優(yōu)算法) 。

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經 濟 學 ( 季 刊)

第9卷

施呢 ? 對于非統(tǒng)一的錄取機制 , 實力較弱的高校越是先通知擬錄取學生 , 受 到的效用損失會越大 。又由于各招生單位無法在時間表上采取統(tǒng)一的規(guī)劃 , 可以采取以下方式來通知擬錄取學生 : 學生最偏好的學校首先確定其通知擬 錄取學生的時間 ; 第二偏好的學校在觀察到前面一個學校的通知擬錄取時間 后 , 再確定自己通知擬錄取學生的時間 ; 以此類推 。

六、 結論和討論
本文對目前高考平行志愿機制的性質和優(yōu)缺點進行了再探討 , 提出了三 條改進的建議 : 降低投檔比例 、打通不同院校各專業(yè)之間的志愿和增加志愿 個數(shù) 。本文還設計了非統(tǒng)一錄取條件下的偏好順序機制 。該機制在理論上能 夠解決學校錄取問題所提出的五個要求 : 公平 、無浪費 、個人理性 、抗策略 和帕累托最優(yōu) 。本文還對該機制在博士生錄取中的實際運行方法做了分析 。 偏好順序非統(tǒng)一錄取機制的不足之一是它必須假定博士生考生的偏好是 一致的 。而現(xiàn)實中的博士生考生及應屆畢業(yè)生的偏好一定是有差別的 , 因此 在非統(tǒng)一錄取的現(xiàn)實條件下 , 偏好順序機制不可能使招生單位的效用完全達 到帕累托最優(yōu) 。但是 , 在大多數(shù)人對招生高校評價相近或相同的情況下 , 使 用偏好順序機制可以減少違約現(xiàn)象的發(fā)生 。 偏好順序非統(tǒng)一錄取機制的另外一個問題是假定學生在接到兩個擬錄取 通知后會立即拒絕偏好較低的高校 。這種機制實施的過程中 , 學生當然可以 保留所有的擬錄取名額到入學時再拒絕 , 但這樣 “損人不利己”的行為對學 生的效用是沒有任何改進的 , 只要對這樣的行為稍加約束即可避免 ( 譬如同 時收取少量的擬錄取費用) 。 附錄 A
第一輪 : 考慮每個學生的第一志愿 , 學校 C 將第一志愿報考本校 T c 最高的前 q c 個學 生納入考查名單 , 拒絕其他學生 。 第二輪 : 考慮上輪被拒絕學生的第二志愿 , 學校 C 將第二志愿報考本校的學生和上輪 中已經納入考查名單的學生一起比較 , 將 Tc 最高的前 q c 個學生納入第二輪考查名單 。 第 k 輪 : 考慮上輪被拒絕的學生的第 k 志愿 , 學校 C 將第 k 志愿報考本校的學生和上 輪中已經納入考查名單的學生一起比較 , 將 T c 最高的前 q c 個學生納入第 k 輪考查名單 。 當沒有學生被拒絕 , 所有的學生都分配到最終位置時 , 這個算法結束 。
( 2) 最優(yōu)交易循環(huán)機制的算法如下 : ( 1) Gale2Shapley 機制的算法如下 :

第一輪 : 學生指向他們最為偏好的學校 , 學校指向他們最為偏好的學生 。這樣必定會 形成一個閉合的循環(huán)圈 , 這個循環(huán)圈類似 ( S 1 →C1 →S 2 →C2 →…→S 1 ) , 這些閉合循環(huán)圈 內的所有學生被他們指向的學校錄取 。學�？射浫∶~減 1 , 拒絕其他學生 。

第1期

魏立佳 : 高考與博士生錄取的機制設計

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第 k 輪 : 學生指向還有剩余可錄取名額學校中最偏好的學校 , 學校指向剩余學生中最 偏好的 。閉合循環(huán)圈內的所有學生被他們指向的學校錄取 。學校可錄取名額減 1 , 拒絕其 他學生 。 當所有的錄取名額都被用完時 , 該算法結束 。
( 3) 波士頓機制的算法如下 :

第一步 : 每個學校都只考慮學生的第一志愿 , 按該學校的偏好逐個錄取學生 , 直到沒 有可錄取名額或者沒有學生的第一志愿是該校為止 。 第 k 步 : 每個學校都只考慮學生的第 k 志愿 , 按該學校的偏好逐個錄取學生 , 直到沒 有可錄取名額或者沒有學生的第 k 志愿是該校為止 。 該算法當所有的志愿全部被錄取一遍之后結束 。
( 4) 分數(shù)獨裁機制的算法如下 :

第一步 : 分數(shù)最高的學生 , 首先考查其第一志愿 , 如果第一志愿高校還有可錄取名 額 , 則被第一志愿錄取 ; 否則依次考慮其第二志愿 , …, 第 n 志愿 。當學生被其中某一志 愿錄取為止 。 第 k 步 : 分數(shù)排名第 k 的學生 , 首先考慮其第一志愿 , 如果第一志愿高校還有可錄取 名額 , 則被第一志愿錄取 ; 否則依次考慮其第二志愿 , …, 第 n 志愿 。當學生被其中某一 志愿錄取為止 。 該算法當所有的學生被考查完一遍或所有可錄取名額用完時結束 。

附錄 B
命題 1 的證明 我們用數(shù)學歸納法來證明該命題 。 　　 ( 1) 2 個志愿時 , 總存在填報方式使學生效用大于 1 個志愿時 。 根據(jù)設定 , 志愿個數(shù)為 2 和 1 時學生的效用為 : θ θ θ U 2 = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( b) - F ( 1 ) ] ; 　 1 = <( a) [ F ( b) - F ( a) ]. U θ θ θ U 2 - U 1 = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( b) - F ( 1 ) ] - <( a) [ F ( b) - F ( a) ] 9U θ θ θ θ θ θ θ = <( i- 1 ) f ( i ) + < ( i ) [ F( i+1 ) - F( i ) ] - <( i ) f ( i ) = 0 ′ θ 9 i θ θ = [ F ( b) - F ( 1 ) ][ <( 1 ) - <( a) ] > 0 . θ θ θ θ U N - U N - 1 = [ F( i+1 ) - F( i ) ][ <( i ) - <( i- 1 ) ] > 0 .

　　 兩種情況下的效用差為 :

　　 ( 2) N 個志愿時 , 總存在填報方式使學生效用大于 N - 1 個志愿時 。

　　 不妨設第 N 個志愿定在原來的第 i 個和 i + 1 個志愿之間 , 則效用差為 :

　　 ( 3) 命題對于所有的 N ( N ≥ ) 都成立 。 1 命題 2 的證明

θ θ θ θ θ θ U N = <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + <( 1 ) [ F ( 2 ) - F ( 1 ) ] + … + <( N - 1 ) [ F ( b) - F ( N - 1 ) ].

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經 濟 學 ( 季 刊) ′i 　　 ] [ <(θ) - <(θ 1 ) ] f (θ) = < (θ) [ F (θ 1 ) - F (θ) ]. i ii i+ i 　+ <(θ - 1 ) [ F ( b) - F (θ ) ]. N N
i

第9卷

　　 θ =θ- 1 或θ =θ+ 1 時 , 效用函數(shù)有 U′ U″ 當 i 和 : i i i

可以解出 N - 1 個志愿的填報分數(shù)使學生的效用 U 最大 , 又因為 a 是一個已知志愿 , 這就 是最優(yōu)填報方案 。 命題 3 的證明

后的 OCi 時刻 , μ( S k ) = Ci , μ( S k ) ≠Cj , 最后的匹配結果必然有 | μ- 1 ( Cj ) | ≤qCj - 1 , 機制
M 不是一個無浪費的機制 。因為浪費的那個名額給予 S l 是一種帕累托改進 , 機制 M 必然

不是一個帕累托最優(yōu)的機制 。 命題 4 的證明

某學校正式錄取了 , 該學校必然是擬錄取他的學校中他最偏好的 。如果存在 μ( S j ) = Ci ,

報考好于或等于 C0 的學校 。如有學校 Ci =μ( S j ) 擬錄取 S j , 即有 μ( S j ) R Sμ( S j ) R S C0 , 則 機制 M 是個人理性的 。 Π S j , 在單次非統(tǒng)一錄取機制中 , S j 的偏好是私人信息且唯一確定的 , 所報考的學校

僅知道 Ci R S j C0 ; 而 S j 會報考所有報考好于或等于 C0 的學校 , 采用策略偏好后集合屬于 或等于真實偏好報考學校集合 , 因此機制 M 是抗策略的 。 命題 5 的證明

μ( S k ) ≠Ci , 最后的匹配結果必然有 | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 。因此機制 M 是一個無浪費的機制 。 根據(jù)命題 4 , 這個機制是公平 、個人理性和抗策略的 , 又因為機制 M 是無浪費的 , 所以機
8 制 M 對于學生是帕累托最優(yōu)的 。

此如果存在μ( S j ) PS iμ( S i ) , 必然有 T c ( S j ) > T c ( S i ) , 即機制 M 是公平的 。 Π S j , 他只會 帕累托最優(yōu)和學校的帕累托最優(yōu) 。
8

生) , 所以 Cj 包括 S 0 的新匹配一定沒有原匹配好 。Ci 的效用改進一定會使 C j 的效用受到 損失 。因此 , 該機制滿足學校的帕累托最優(yōu) 。偏好順序非統(tǒng)一錄取機制同時滿足了學生的

則有 ] Ci P S kμ( S k ) ] Ci | CS k , 根據(jù)擬錄取的定義有 T Ci ( S j ) > T Ci ( S qC ) > T Ci ( S k ) 。因
聶海峰 ( 2007) 證明了滿足公平 、 無浪費和個人理性的機制必然滿足帕累托最優(yōu) 。

S k 。 ? Cj =μ( S k ) ( j < i) , 必然有 T Cj ( S k ) > T Cj ( S 0 ) ( S 0 為沒有被 Cj 錄取的任意一個學

9U 92 U ) 　　 根據(jù)命題 1 有 U > U′ U″ U (θ 是連續(xù)的 , 一定存在θ , 使得 θ = 0 , = , < 0。 i θ 9 i 9 2 i 命題 6 的證明

在第 j 步有μ( S k ) = Cj , | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 在其后的第 i 步 ( j < i) 中 , 都有 Cj P S C i ]

根據(jù) N - 1 個方程 [ <(θ) - <(θ- 1 ) ] f (θ) = < (θ) [ F (θ+ 1 ) - F (θ) ] ( i = 1 , 2 , …, N - 1) , ′i i i i i i

因為拒絕擬錄取是沒有效用損失的 , 在 O j 時刻有μ( S k ) = Cj , | μ- 1 ( Cj ) | = qCj 。在其

在該機制 M 算法完成后 , 學校 Ci 效用改進就是招收到至少一個拒絕被 C i 錄取的學生

Π S k , S k 在算法中的每一步中都只保留其更偏好的學校 , 拒絕其他學校 。如果 S k 被

θ θ θ θ U′= U″= <( a) [ F ( 1 ) - F ( a) ] + … + <( i- 1 ) [ F ( i+1 ) - F ( i- 1 ) ] + …

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魏立佳 : 高考與博士生錄取的機制設計

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經 濟 學 ( 季 刊)

第9卷

A Design f or College and Graduate School Admission
L IJ IA W EI
( X i amen U ni versi t y )
Abstract 　The college admission p roblem is o ne of t he widely discussed issues in t he edu2

cation literat ure. This paper analyzes t he advantages and disadvantages of t he parallel applica2 tive admissio ns , allowing fo r applicatio ns fo r different majors and increasing t he number of colleges to be applied for. The admission of graduate schools , however , is of anot her type tio n policy , and p ropo ses t hat st udent sπ utility can be imp roved by reducing t he rate of tenta2 dividually rational , st rategy2p roof , and Pareto efficient , and t hen discusses how to apply t he mechanism in reality. JEL Classif ication 　 C78 , D61 , D78 , I20 nism for t his type of admission , which satisfies t he p roperties of being fair , no n2wastef ul , in2 t hat has a decent ralized admission system. This paper designs a p reference o rdering mecha2



  本文關鍵詞：中國高考錄取與博士生錄取的機制設計，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。