第一章  緒論 

1.1   研究背景及意義 
統(tǒng)計(jì)的主要目標(biāo)是對(duì)收集的數(shù)據(jù)間的關(guān)系和參數(shù)進(jìn)行推斷，這些數(shù)據(jù)可能有不同的形式，例如公司的股票收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)是一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，投資者可能需要這些時(shí)間序列數(shù)據(jù)來(lái)決定是否購(gòu)買(mǎi)該公司的股票。數(shù)據(jù)也可以通過(guò)向量的形式存在。例如，體檢時(shí)醫(yī)生會(huì)記錄一個(gè)人的升高、體重、年齡和血壓等指標(biāo)，在這種情況下，每一個(gè)觀測(cè)值就是一個(gè)長(zhǎng)度為 4 的向量，醫(yī)生可以通過(guò)這些數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)病人患病的可能進(jìn)行分析。 公司的股票價(jià)格數(shù)據(jù)也可以通過(guò)向量來(lái)進(jìn)行記錄。如果 1 分鐘的間隔來(lái)對(duì)交易日股票的價(jià)格進(jìn)行記錄，每天就可以獲得長(zhǎng)度為 390 的向量。股票價(jià)值在它進(jìn)行交易的時(shí)候是已知的，有些股票每秒可能要進(jìn)行多次交易，而有些股票在一天中才進(jìn)行少數(shù)幾次交易。已知股票每天交易的時(shí)刻不同，而且不同天交易次數(shù)也不相同，如果每一天用向量來(lái)表示，則向量的大小也不盡相同，向量中相對(duì)應(yīng)的元素也不能表示不同天的同一時(shí)刻，一種方法是通過(guò)一條曲線或一個(gè)函數(shù)來(lái)表示股票在一個(gè)交易日中的價(jià)值，由于股票的價(jià)值在進(jìn)行交易的時(shí)候才知道，因此得到的數(shù)據(jù)是離散的，然而，可以把這些離散的數(shù)據(jù)近似看為一個(gè)連續(xù)型數(shù)據(jù)。此時(shí)，這些連續(xù)數(shù)據(jù)就可以通過(guò)插值的方法來(lái)近似，如樣條法。
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1.2   國(guó)內(nèi)外研究狀況 
1.2.1   國(guó)外研究現(xiàn)狀 
將這些數(shù)據(jù)用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)型數(shù)據(jù)分析方法處理自然是一個(gè)重要應(yīng)用方向，我們可以預(yù)見(jiàn)在不遠(yuǎn)的將來(lái)，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法會(huì)延伸到別的社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中去。統(tǒng)計(jì)推斷大體上分為兩大類(lèi)：模型估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。許多函數(shù)型數(shù)據(jù)分析文獻(xiàn)主要關(guān)注于模型的估計(jì)，少部分研究假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。因此，我們從標(biāo)準(zhǔn)回歸模型，均值函數(shù)模型和主成分分析模型幾方面來(lái)進(jìn)行文獻(xiàn)綜述。 對(duì)于估計(jì)問(wèn)題，許多研究通過(guò)運(yùn)用光滑技術(shù)對(duì)均值函數(shù)模型和主成分分析模型 進(jìn)行分析 。 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)回歸 模 型，現(xiàn)有很多參數(shù)和非參數(shù)方法，如Wahba(1990),Haerdle(1990)和 Wand(1995)等都對(duì)這方面進(jìn)行了研究，Ramsay  和 Silverman(1997)回顧了許多非參數(shù)技術(shù)來(lái)重建曲線數(shù)據(jù)集的抽樣路徑。 有幾個(gè)研究者也對(duì)均值模型進(jìn)行了研究，如 Hart 和 Wehrly(1986)在給定度量的情況下，通過(guò)運(yùn)用核方法對(duì)靜態(tài)過(guò)程的均值函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。Rice  和 Silverman(1991)通過(guò)懲罰旋轉(zhuǎn)光滑技術(shù)估計(jì)了均值函數(shù)和特征函數(shù)，Besse(1997)等人提出一種混合旋轉(zhuǎn)技術(shù)對(duì)均值函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。岳敏，朱建平(2009)把函數(shù)型主成分分析運(yùn)用于我國(guó)的股票市場(chǎng)，對(duì)股票的收益率變動(dòng)進(jìn)行分析，通過(guò)該方法從方向和程度上來(lái)分析股票收益率的時(shí)變特點(diǎn)，研究結(jié)果表明通過(guò)函數(shù)型主成分分析得到的主成分能夠?qū)善笔找媛实淖儎?dòng)進(jìn)行很好的解釋?zhuān)俏恼聸](méi)有運(yùn)用懲罰來(lái)對(duì)函數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，若此將使得結(jié)果更加準(zhǔn)確。
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第二章  函數(shù)型數(shù)據(jù)和模型 

2.1   函數(shù)型數(shù)據(jù) 
2.1.1   曲線數(shù)據(jù)與平面數(shù)據(jù)
近些年函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在空間數(shù)據(jù)的分析領(lǐng)域也有著一定的應(yīng)用，其某些思路和方法當(dāng)研究問(wèn)題維數(shù)的增加，出現(xiàn)了一些待解決的問(wèn)題。本文旨在為后續(xù)研究做鋪墊，更深層次的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析研究和廣泛的實(shí)際應(yīng)用還需要大家共同的努力。通過(guò)數(shù)據(jù)到模型這種常用的模式進(jìn)行介紹。首先介紹函數(shù)型數(shù)據(jù)的概念，然后再對(duì)常用的函數(shù)型數(shù)據(jù)模型進(jìn)行介紹。通常數(shù)據(jù)類(lèi)型可以根據(jù)觀察值的維度分為單變量和多變量類(lèi)型，例如，單變量數(shù)據(jù)集把數(shù)字作為觀測(cè)值，而多變量數(shù)據(jù)集把向量作為它的觀測(cè)值，數(shù)字是單維度的，而向量是多維度的。 一條曲線或一個(gè)平面可以認(rèn)為是一個(gè)無(wú)窮維的向量。以曲線為觀測(cè)值的數(shù)據(jù)集稱(chēng)為曲線數(shù)據(jù)集，以平面為觀測(cè)值的數(shù)據(jù)集稱(chēng)為平面數(shù)據(jù)集，通常，稱(chēng)以函數(shù)為觀測(cè)值的數(shù)據(jù)集為函數(shù)型數(shù)據(jù)集。函數(shù)型數(shù)據(jù)是單維和多維數(shù)據(jù)的自然推廣。 曲線數(shù)據(jù)存在于多個(gè)領(lǐng)域，如生物學(xué)，醫(yī)學(xué)和氣象學(xué)等等。最典型的是在生長(zhǎng)曲線的縱向研究中，Rice 和 Silverman(1991)，Kneip(1994)也提出了很多關(guān)于曲線數(shù)據(jù)的例子。 科學(xué)實(shí)驗(yàn)中也會(huì)經(jīng)常遇到曲線數(shù)據(jù)，例如，對(duì)孩子的生長(zhǎng)模式進(jìn)行研究，它有助于很好地了解孩子的生長(zhǎng)過(guò)程。這種實(shí)驗(yàn)通常是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行的。如下是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)：該實(shí)驗(yàn)包含多個(gè)孩子，他們的身高是通過(guò)時(shí)間間隔來(lái)記錄的，現(xiàn)在對(duì)兩年中孩子的身高進(jìn)行測(cè)量，每隔半個(gè)月測(cè)量一次，總共記錄 48 條數(shù)據(jù)。我們知道這 48 條數(shù)據(jù)是從孩子的潛在的生長(zhǎng)曲線中抽取的樣本，因此我們非常關(guān)注孩子的生長(zhǎng)曲線，而通過(guò)這些抽取的數(shù)據(jù)，可以對(duì)孩子的潛在生長(zhǎng)曲線進(jìn)行估計(jì)。潛在的生長(zhǎng)曲線表示每個(gè)孩子的生長(zhǎng)模式。
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2.2   函數(shù)型數(shù)據(jù)的預(yù)處理 
函數(shù)型數(shù)據(jù)分析分為以下步驟：首先對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使之符合函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的要求，選擇相應(yīng)的基函數(shù)來(lái)對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，對(duì)擬合得到的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分析函數(shù)的變化形式。得到了函數(shù)之后，通過(guò)均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)等對(duì)該函數(shù)的特征進(jìn)行分析。然后通過(guò)套準(zhǔn)來(lái)消除樣本在不同時(shí)刻的變化的差異，最后對(duì)套準(zhǔn)后的函數(shù)型數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以運(yùn)用主成分分析或典型相關(guān)分析等，然后建立相應(yīng)的線性相關(guān)模型或微分方程模型。 通常我們得到的數(shù)據(jù)都是離散的，如何來(lái)理解數(shù)據(jù)是一個(gè)函數(shù)呢？這并不是說(shuō)在每個(gè)時(shí)刻都有觀測(cè)值，這是不可能的。而是說(shuō)假設(shè)離散數(shù)據(jù)的生成過(guò)程是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程，這樣就可以對(duì)生成過(guò)程函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分析。在通常情況下我們獲得的數(shù)據(jù)不僅是離散的，而且有噪音，因此首先就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，消除噪音的影響。數(shù)據(jù)預(yù)處理通常用插值法和平滑法。如果獲得的觀測(cè)值沒(méi)有誤差，那么可以運(yùn)用插值法進(jìn)行擬合，而如果得到的觀測(cè)值具有誤差，那么應(yīng)該用平滑法進(jìn)行擬合，通常數(shù)據(jù)是有噪音的，，因此常用平滑法來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，下面對(duì)平滑法進(jìn)行介紹。
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第三章   函數(shù)型數(shù)據(jù)分析 ............ 17 
3.1   經(jīng)典回歸分析回顧 ........... 17 
3.2   基函數(shù)模型 .......... 18 
3.3   函數(shù)光滑性的度量 ............ 21 
3.4   方差分析 .......... 24 
第四章   函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在證券投資中的應(yīng)用 ............. 32 
4.1   投資組合理論回顧 ............. 32 
4.2   證券收益實(shí)證分析 ........... 34 
第五章   結(jié)論及建議 ........... 39

第四章  函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在證券投資中的應(yīng)用 

4.1   投資組合理論回顧 
投資風(fēng)險(xiǎn)是指對(duì)投資未來(lái)結(jié)果的不確定性，在金融投資領(lǐng)域中，風(fēng)險(xiǎn)特指的是未來(lái)資產(chǎn)價(jià)值的不確定性或未來(lái)資產(chǎn)收益的不確定性。由于這種不確定性的存在投資者在進(jìn)行投資時(shí)需要承擔(dān)著或多或少的風(fēng)險(xiǎn)。顯然，認(rèn)識(shí)風(fēng)險(xiǎn)、選擇風(fēng)險(xiǎn)及投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的敏感程度是與投資決策密切相關(guān)的問(wèn)題。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是度量隨機(jī)事件各種可能結(jié)果與期望結(jié)果偏離幅度的參數(shù)，在投資組合理論中，方差和標(biāo)準(zhǔn)差被用來(lái)衡量投資風(fēng)險(xiǎn)的大小。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，資產(chǎn)未來(lái)的不確定性越大，因而風(fēng)險(xiǎn)就越大。 Markowitz 在其 1952 年著名的論文《證券組合選擇》中構(gòu)建了均值-方差模型，翻開(kāi)了現(xiàn)代投資組合理論的新篇章。在這篇論文中，Markowitz 考察了投資期限為一期的情形，即投資人在某一時(shí)點(diǎn)即期初，以一定的資金買(mǎi)進(jìn)一系列證券并保持在手中一段時(shí)間即投資期，在投資期末的時(shí)點(diǎn)即期末，將期初買(mǎi)進(jìn)的證券賣(mài)掉。在這個(gè)問(wèn)題中，首次規(guī)范地形式了投資的風(fēng)險(xiǎn)。
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第五章  結(jié)論及建議 
在本文的前兩章中，我們首先介紹了函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的研究背景和當(dāng)前研究現(xiàn)狀，隨后介紹的函數(shù)型數(shù)據(jù)的幾種常見(jiàn)類(lèi)別，并列出了幾種常見(jiàn)的處理函數(shù)型數(shù)據(jù)時(shí)用到的模型及它們的性質(zhì)，此外我們還回顧了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，回歸分析是如何實(shí)現(xiàn)的。然后,我們?cè)诘谌轮薪榻B擬合曲線的方法，也就是基函數(shù)擬合法，并分別針對(duì)周期函數(shù)數(shù)據(jù)和非周期函數(shù)數(shù)據(jù)較為詳細(xì)的介紹了基函數(shù)系統(tǒng)。我們?cè)诎言嫉臄?shù)據(jù)利用基函數(shù)線性表出之后，就可以通過(guò)修正后的最小二乘法即廣義最小二乘法得到基函數(shù)系數(shù)的估值。此外，為了避免在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中擬合過(guò)程中發(fā)生的過(guò)擬合現(xiàn)象，我們加入了光滑參數(shù)和光滑矩陣的概念來(lái)調(diào)節(jié)擬合函數(shù)的整體平滑性。我們?yōu)榱丝刂坪瘮?shù)局部的性質(zhì)，如擬合程度或光滑性等，甚至可以用兩組或更多的基函數(shù)系統(tǒng)來(lái)擬合，此時(shí)我們而另一組基函數(shù)來(lái)控制函數(shù)的全局性質(zhì)。 在得到了擬合函數(shù)之后，我們介紹了其他的方法來(lái)探索函數(shù)包含的信息，這些方法都是在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中常用到的，包括方差分析、主成分分析、典型相關(guān)分析。方差分析是研究一個(gè)或多個(gè)因素對(duì)模型的影響程度的方法；主成分分析是一種利用降低數(shù)據(jù)的維數(shù)的思想來(lái)壓縮數(shù)據(jù)、提取函數(shù)內(nèi)在信息的方法；典型相關(guān)分析是研究?jī)山M函數(shù)相關(guān)性的方法。在以上幾種方法中，我們都利用了光滑參數(shù)和光滑矩陣來(lái)使擬合函數(shù)的系數(shù)函數(shù)具有更好的光滑性。
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參考文獻(xiàn)(略)