第一章  緒論 

1.1   研究背景及意義 
統(tǒng)計的主要目標(biāo)是對收集的數(shù)據(jù)間的關(guān)系和參數(shù)進行推斷，這些數(shù)據(jù)可能有不同的形式，例如公司的股票收盤價數(shù)據(jù)是一個時間序列數(shù)據(jù)，投資者可能需要這些時間序列數(shù)據(jù)來決定是否購買該公司的股票。數(shù)據(jù)也可以通過向量的形式存在。例如，體檢時醫(yī)生會記錄一個人的升高、體重、年齡和血壓等指標(biāo)，在這種情況下，每一個觀測值就是一個長度為 4 的向量，醫(yī)生可以通過這些數(shù)據(jù)來對病人患病的可能進行分析。 公司的股票價格數(shù)據(jù)也可以通過向量來進行記錄。如果 1 分鐘的間隔來對交易日股票的價格進行記錄，每天就可以獲得長度為 390 的向量。股票價值在它進行交易的時候是已知的，有些股票每秒可能要進行多次交易，而有些股票在一天中才進行少數(shù)幾次交易。已知股票每天交易的時刻不同，而且不同天交易次數(shù)也不相同，如果每一天用向量來表示，則向量的大小也不盡相同，向量中相對應(yīng)的元素也不能表示不同天的同一時刻，一種方法是通過一條曲線或一個函數(shù)來表示股票在一個交易日中的價值，由于股票的價值在進行交易的時候才知道，因此得到的數(shù)據(jù)是離散的，然而，可以把這些離散的數(shù)據(jù)近似看為一個連續(xù)型數(shù)據(jù)。此時，這些連續(xù)數(shù)據(jù)就可以通過插值的方法來近似，如樣條法。
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1.2   國內(nèi)外研究狀況 
1.2.1   國外研究現(xiàn)狀 
將這些數(shù)據(jù)用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)型數(shù)據(jù)分析方法處理自然是一個重要應(yīng)用方向，我們可以預(yù)見在不遠的將來，函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法會延伸到別的社會科學(xué)和自然科學(xué)的各個領(lǐng)域中去。統(tǒng)計推斷大體上分為兩大類：模型估計和假設(shè)檢驗。許多函數(shù)型數(shù)據(jù)分析文獻主要關(guān)注于模型的估計，少部分研究假設(shè)檢驗問題。因此，我們從標(biāo)準回歸模型，均值函數(shù)模型和主成分分析模型幾方面來進行文獻綜述。 對于估計問題，許多研究通過運用光滑技術(shù)對均值函數(shù)模型和主成分分析模型 進行分析 。 對于標(biāo)準回歸 模 型，現(xiàn)有很多參數(shù)和非參數(shù)方法，如Wahba(1990),Haerdle(1990)和 Wand(1995)等都對這方面進行了研究，Ramsay  和 Silverman(1997)回顧了許多非參數(shù)技術(shù)來重建曲線數(shù)據(jù)集的抽樣路徑。 有幾個研究者也對均值模型進行了研究，如 Hart 和 Wehrly(1986)在給定度量的情況下，通過運用核方法對靜態(tài)過程的均值函數(shù)進行估計。Rice  和 Silverman(1991)通過懲罰旋轉(zhuǎn)光滑技術(shù)估計了均值函數(shù)和特征函數(shù)，Besse(1997)等人提出一種混合旋轉(zhuǎn)技術(shù)對均值函數(shù)進行估計。岳敏，朱建平(2009)把函數(shù)型主成分分析運用于我國的股票市場，對股票的收益率變動進行分析，通過該方法從方向和程度上來分析股票收益率的時變特點，研究結(jié)果表明通過函數(shù)型主成分分析得到的主成分能夠?qū)善笔找媛实淖儎舆M行很好的解釋，但是文章沒有運用懲罰來對函數(shù)數(shù)據(jù)進行修正，若此將使得結(jié)果更加準確。
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第二章  函數(shù)型數(shù)據(jù)和模型 

2.1   函數(shù)型數(shù)據(jù) 
2.1.1   曲線數(shù)據(jù)與平面數(shù)據(jù)
近些年函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在空間數(shù)據(jù)的分析領(lǐng)域也有著一定的應(yīng)用，其某些思路和方法當(dāng)研究問題維數(shù)的增加，出現(xiàn)了一些待解決的問題。本文旨在為后續(xù)研究做鋪墊，更深層次的函數(shù)型數(shù)據(jù)分析研究和廣泛的實際應(yīng)用還需要大家共同的努力。通過數(shù)據(jù)到模型這種常用的模式進行介紹。首先介紹函數(shù)型數(shù)據(jù)的概念，然后再對常用的函數(shù)型數(shù)據(jù)模型進行介紹。通常數(shù)據(jù)類型可以根據(jù)觀察值的維度分為單變量和多變量類型，例如，單變量數(shù)據(jù)集把數(shù)字作為觀測值，而多變量數(shù)據(jù)集把向量作為它的觀測值，數(shù)字是單維度的，而向量是多維度的。 一條曲線或一個平面可以認為是一個無窮維的向量。以曲線為觀測值的數(shù)據(jù)集稱為曲線數(shù)據(jù)集，以平面為觀測值的數(shù)據(jù)集稱為平面數(shù)據(jù)集，通常，稱以函數(shù)為觀測值的數(shù)據(jù)集為函數(shù)型數(shù)據(jù)集。函數(shù)型數(shù)據(jù)是單維和多維數(shù)據(jù)的自然推廣。 曲線數(shù)據(jù)存在于多個領(lǐng)域，如生物學(xué)，醫(yī)學(xué)和氣象學(xué)等等。最典型的是在生長曲線的縱向研究中，Rice 和 Silverman(1991)，Kneip(1994)也提出了很多關(guān)于曲線數(shù)據(jù)的例子。 科學(xué)實驗中也會經(jīng)常遇到曲線數(shù)據(jù)，例如，對孩子的生長模式進行研究，它有助于很好地了解孩子的生長過程。這種實驗通常是通過實驗來進行的。如下是一個簡單的實驗：該實驗包含多個孩子，他們的身高是通過時間間隔來記錄的，現(xiàn)在對兩年中孩子的身高進行測量，每隔半個月測量一次，總共記錄 48 條數(shù)據(jù)。我們知道這 48 條數(shù)據(jù)是從孩子的潛在的生長曲線中抽取的樣本，因此我們非常關(guān)注孩子的生長曲線，而通過這些抽取的數(shù)據(jù)，可以對孩子的潛在生長曲線進行估計。潛在的生長曲線表示每個孩子的生長模式。
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2.2   函數(shù)型數(shù)據(jù)的預(yù)處理 
函數(shù)型數(shù)據(jù)分析分為以下步驟：首先對收集到的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，使之符合函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的要求，選擇相應(yīng)的基函數(shù)來對該數(shù)據(jù)進行擬合，對擬合得到的函數(shù)進行求導(dǎo)，分析函數(shù)的變化形式。得到了函數(shù)之后，通過均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)等對該函數(shù)的特征進行分析。然后通過套準來消除樣本在不同時刻的變化的差異，最后對套準后的函數(shù)型數(shù)據(jù)進行分析，可以運用主成分分析或典型相關(guān)分析等，然后建立相應(yīng)的線性相關(guān)模型或微分方程模型。 通常我們得到的數(shù)據(jù)都是離散的，如何來理解數(shù)據(jù)是一個函數(shù)呢？這并不是說在每個時刻都有觀測值，這是不可能的。而是說假設(shè)離散數(shù)據(jù)的生成過程是一個連續(xù)的過程，這樣就可以對生成過程函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)進行分析。在通常情況下我們獲得的數(shù)據(jù)不僅是離散的，而且有噪音，因此首先就對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，消除噪音的影響。數(shù)據(jù)預(yù)處理通常用插值法和平滑法。如果獲得的觀測值沒有誤差，那么可以運用插值法進行擬合，而如果得到的觀測值具有誤差，那么應(yīng)該用平滑法進行擬合，通常數(shù)據(jù)是有噪音的，，因此常用平滑法來進行數(shù)據(jù)預(yù)處理，下面對平滑法進行介紹。
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第三章   函數(shù)型數(shù)據(jù)分析 ............ 17 
3.1   經(jīng)典回歸分析回顧 ........... 17 
3.2   基函數(shù)模型 .......... 18 
3.3   函數(shù)光滑性的度量 ............ 21 
3.4   方差分析 .......... 24 
第四章   函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在證券投資中的應(yīng)用 ............. 32 
4.1   投資組合理論回顧 ............. 32 
4.2   證券收益實證分析 ........... 34 
第五章   結(jié)論及建議 ........... 39

第四章  函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在證券投資中的應(yīng)用 

4.1   投資組合理論回顧 
投資風(fēng)險是指對投資未來結(jié)果的不確定性，在金融投資領(lǐng)域中，風(fēng)險特指的是未來資產(chǎn)價值的不確定性或未來資產(chǎn)收益的不確定性。由于這種不確定性的存在投資者在進行投資時需要承擔(dān)著或多或少的風(fēng)險。顯然，認識風(fēng)險、選擇風(fēng)險及投資者對風(fēng)險的敏感程度是與投資決策密切相關(guān)的問題。統(tǒng)計學(xué)中，方差和標(biāo)準差是度量隨機事件各種可能結(jié)果與期望結(jié)果偏離幅度的參數(shù)，在投資組合理論中，方差和標(biāo)準差被用來衡量投資風(fēng)險的大小。方差或標(biāo)準差越大，資產(chǎn)未來的不確定性越大，因而風(fēng)險就越大。 Markowitz 在其 1952 年著名的論文《證券組合選擇》中構(gòu)建了均值-方差模型，翻開了現(xiàn)代投資組合理論的新篇章。在這篇論文中，Markowitz 考察了投資期限為一期的情形，即投資人在某一時點即期初，以一定的資金買進一系列證券并保持在手中一段時間即投資期，在投資期末的時點即期末，將期初買進的證券賣掉。在這個問題中，首次規(guī)范地形式了投資的風(fēng)險。
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第五章  結(jié)論及建議 
在本文的前兩章中，我們首先介紹了函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的研究背景和當(dāng)前研究現(xiàn)狀，隨后介紹的函數(shù)型數(shù)據(jù)的幾種常見類別，并列出了幾種常見的處理函數(shù)型數(shù)據(jù)時用到的模型及它們的性質(zhì)，此外我們還回顧了經(jīng)典統(tǒng)計中，回歸分析是如何實現(xiàn)的。然后,我們在第三章中介紹擬合曲線的方法，也就是基函數(shù)擬合法，并分別針對周期函數(shù)數(shù)據(jù)和非周期函數(shù)數(shù)據(jù)較為詳細的介紹了基函數(shù)系統(tǒng)。我們在把原始的數(shù)據(jù)利用基函數(shù)線性表出之后，就可以通過修正后的最小二乘法即廣義最小二乘法得到基函數(shù)系數(shù)的估值。此外，為了避免在經(jīng)典統(tǒng)計中擬合過程中發(fā)生的過擬合現(xiàn)象，我們加入了光滑參數(shù)和光滑矩陣的概念來調(diào)節(jié)擬合函數(shù)的整體平滑性。我們?yōu)榱丝刂坪瘮?shù)局部的性質(zhì)，如擬合程度或光滑性等，甚至可以用兩組或更多的基函數(shù)系統(tǒng)來擬合，此時我們而另一組基函數(shù)來控制函數(shù)的全局性質(zhì)。 在得到了擬合函數(shù)之后，我們介紹了其他的方法來探索函數(shù)包含的信息，這些方法都是在經(jīng)典統(tǒng)計中常用到的，包括方差分析、主成分分析、典型相關(guān)分析。方差分析是研究一個或多個因素對模型的影響程度的方法；主成分分析是一種利用降低數(shù)據(jù)的維數(shù)的思想來壓縮數(shù)據(jù)、提取函數(shù)內(nèi)在信息的方法；典型相關(guān)分析是研究兩組函數(shù)相關(guān)性的方法。在以上幾種方法中，我們都利用了光滑參數(shù)和光滑矩陣來使擬合函數(shù)的系數(shù)函數(shù)具有更好的光滑性。
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參考文獻(略)