第一章緒論

孫維剛的教學，從來沒有單教過數(shù)學的一個章節(jié)，每堂課教的都是整體的數(shù)學。孫維剛的數(shù)學課堂是教師們追求的，他實現(xiàn)了數(shù)學的教育意義，教的是真正的數(shù)學。以任何外延的途徑試圖把握整個數(shù)學的嘗試，結果都是注定不成功的，因為數(shù)學不是用窮盡法可以完結的。在數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展過程中，存在一個使其成其為“數(shù)學”的、貫穿于數(shù)學始終的不變的東西，這就是數(shù)學的內(nèi)涵實質(zhì)。找到了它，數(shù)學才可以名副其實的成為一個整體，教師才可以名副其實的教數(shù)學，學生才可以學名副其實的數(shù)學。孫維剛的數(shù)學教學，被認為是及其少有的教師之教的狀態(tài)，因為他和其他數(shù)學教師不同，他培養(yǎng)出的學生也和其他的學生不同。人們認為這樣的教師是少數(shù)的。那么，在教師專業(yè)發(fā)展的今天，我們是否應該對孫維剛的數(shù)學教學有以下的考慮：教師專業(yè)發(fā)展難道不應該指向這樣的一個目標嗎？難道我們作為未來的教師不應該學這樣的數(shù)學教學嗎？應該學什么呢？怎樣才能站在系統(tǒng)的高度，整體的把握數(shù)學呢？由此，提出“中學數(shù)學教什么”的問題，以中學數(shù)學中的4個課為例（分別為“從算術到方程”、“變量與函數(shù)”、“變化率與導數(shù)”、“隨機事件的概率”），對此問題進行探討，由此展開本次研究。
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第二章從“方程”到“概率”

一、 數(shù)學與世界
在古代將數(shù)學稱為“算學”或“算術”，從中體現(xiàn)出我國古代的數(shù)學以計算為主，后將其改為“數(shù)學”�！皵�(shù)學”一詞來源于古希臘，其有學>J、學問、科學之意。從字面理解“數(shù)學”是關于數(shù)字的學問，畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)說”體現(xiàn)了這一點，認為世界上的萬事萬物都可以用數(shù)來衡量，世界萬物都具有數(shù)學屬性。盡管無理數(shù)的出現(xiàn)使得“萬物皆數(shù)”說不再成為真理，但是這一說法并不過時，這個時期正在被小學生真實的經(jīng)歷著、感受著。起初，兒童帶著物的屬性進入數(shù)學，需要借助“一個蘋果"來認識數(shù)字“1”�！�1”可以指代任何具有數(shù)量“1”的東西，不同之處在于，現(xiàn)實生活中數(shù)字“1”并不存在，但是它所抽象掉的那個物質(zhì)實在卻真實的、大量的、可感的存在于世界當中，這從根本上決定了數(shù)學與世界的聯(lián)系與不同。數(shù)學起源于人類早期的生產(chǎn)活動，在人類對此界的認識過程中逐漸形成。數(shù)學將現(xiàn)實世界中事物的物質(zhì)實在抽象掉，剩下的純形式關系進入數(shù)學的研究范疇，這些純形式與世界當中的某個實在對應著，有些是對實物的直接抽象或是在對實際問題的直接解決中產(chǎn)生，一般都可以直接找到促使其產(chǎn)生的源頭。還有些是為了滿足數(shù)學內(nèi)部的需要而產(chǎn)生，促使這個新形式產(chǎn)生的東西地位相當于世界當中的物質(zhì)實在，可以被直接的感知、認識并可以成為下一個新知識的內(nèi)在前提。因此，對于任何數(shù)學知識，還原知識的本來面貌，找到促使其產(chǎn)生的源頭，才可以知其然更知其所以然！帶著這樣的理解，認識方程、函數(shù)、導數(shù)和概率。

二、 數(shù)學發(fā)展中的轉折點
在數(shù)學的發(fā)展進程中，存在過只有算術的數(shù)學時期，這一時期依賴于列算式解決問題。因此，算式成為了這一時期解決問題的主要方式。通過列算式，可以直接利用已知數(shù)的混合運算求得未知。但是，隨著問題的逐漸增多，每一個問題都需要列出不同的算式，呈現(xiàn)出了一個個零散的、各個算式之間沒有什么聯(lián)系的問題。另外，面對含有復雜關系的實際f"J題，試圖通過已知直接求得未知的解法顯得極其困難，解決問題時通常需要復雜的思考過程和很難把握的巧妙思路，思維難度過高，即便找到了一個巧妙的解法，這種解法一般只對一個問題有效，當面對下一個新問題時又重新回到了原點。一切問題顯得零零散散。算數(shù)fpj題中積累了大量關于各種數(shù)量問題的解法，為了尋求有系統(tǒng)、更普遍的方法以解決各種數(shù)量關系fpj題，產(chǎn)生了以解方程原理為中心問題的初等代數(shù)。方程通過直接建立等量關系解決問題，使得未知數(shù)參與其中，使得數(shù)學從算術轉向代數(shù)。

第二章 從“方程”到“概率”...... 8

一、 數(shù)學與世界...... 8

二、 數(shù)學發(fā)展中的轉折點 .........9

二、 數(shù)學形式和運算........ 10

四、 4個課選取的設計思想...... 11

第三章中學數(shù)學教什么、怎么教...... 13

一、 從算術到代數(shù)——《從算式到方程》的教學設想........ 13

二、 從數(shù)值到變量——《變量與函數(shù)》的教學設想.......... 15

三、 無窮小運算——《變化率與導數(shù)》的教學設想 ..........17

四、 “不確定”的數(shù)學——《隨機事件的概率》的教學設想.... 20

第四章研究結論與反思......... 23

第三章中學數(shù)學教什么、怎么教

一、 從算術到代數(shù)——《從算式到方程》的教學設想
方程是數(shù)學發(fā)展的轉折點，它也會成為學生學習數(shù)學的轉折、認識數(shù)學的轉折，自此他們考慮問題的方式會發(fā)生改變，字母將進入他們的視野并逐漸帶領他們在數(shù)學的世界中走得更遠，在思維上實現(xiàn)從算術到代數(shù)的轉變，，感受方程這種新形式的出現(xiàn)以及它帶來運算上的變化，從理論上體會方程簡便之所在，用方程本身吸引學生，使得學生+是從為了對付考試而產(chǎn)生對方程的興趣，而是從學生的內(nèi)心深處產(chǎn)生對方程的理解，感受方程解決問題時的普遍化意義、方程中字母的意義并體會方程是對世界中等量關系的描述形式。由此產(chǎn)生對方程的興趣以及對數(shù)學的興趣。這也將成為本課教學所期待的一次嘗試。

二、 從數(shù)值到變量一《變量與函數(shù)》的教學設想
《變量與函數(shù)》是人民教育出版社八年級上冊第十四章“一次函數(shù)”第一節(jié)“變量與函數(shù)”的第一課時，學生在此之前接觸的數(shù)、方程、不等式、平面圖形等，都屬于常量數(shù)學的范疇。常量數(shù)學是以常數(shù)、常量和不變的圖形為主要研究對象，比如方程，是對等量關系的直接描述，旨在求得數(shù)值解。但是，世界當中的變化在常量數(shù)學中沒有數(shù)學形式描述它。這種運動、變化卻在世界_中存在并且對人類生活產(chǎn)生著影響，因此，對當前的數(shù)學（常量數(shù)學）提出了新的要求：必須產(chǎn)生一種可以表示變化過程以及變化著的量之間依賴關系的形式，這樣的需求使得函數(shù)產(chǎn)生�！蹲兞颗c函數(shù)》這節(jié)課是學生接觸變量的幵始，變化帶領學生進入函數(shù)，函數(shù)帶領學生進入數(shù)學，感受數(shù)學從數(shù)值到變量、從求解到關系描述的變化，使得學生完成這種從“靜止”到“運動”的轉變，學會用變化的觀點把握函數(shù)，進一步認識運動的數(shù)學。如何使得學生感受到這樣的變化呢？由于方程作為常量數(shù)學的代表是學生早已熟悉的，因此可以嘗試著從方程開始本課的教學，利用方程的不變、離散解產(chǎn)生出變化的函數(shù)，從中體會數(shù)學從常量走向變量、從靜止走向運動的變化。同時，方程與函數(shù)的聯(lián)系也“一切盡在不言中”。
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第四章研究結論與反思

一、 中學數(shù)學教什么、如何教
本文從形式和運算的角度考慮“數(shù)學是什么”的H題，方程、函數(shù)、導數(shù)、概率教學內(nèi)容的設想是以“數(shù)學是什么”而展幵，嘗試從形式關系和數(shù)學運算來把握中學數(shù)學，使得數(shù)學成為一個以形式關系和運算為核心，并由此逐步展開的統(tǒng)一體，進而形成整個數(shù)學知識體系。從這個本質(zhì)上把握數(shù)學,將整體的數(shù)學思想滲透到數(shù)學教學中，使教學過程中不偏離數(shù)學軌道，真正的教數(shù)學，并為“中學如何教數(shù)學”提供一個線索。中學數(shù)學的教學內(nèi)容，不論是起始課還是復習課，都由內(nèi)而外的散發(fā)著數(shù)學的味道，數(shù)學帶給學生的是由形式和運算展開的數(shù)學知識，這樣的理解使得數(shù)學知識不再是一個個孤立的單獨體，而是由一個中心逐漸向外發(fā)散可以到無窮。盡管無窮、盡管發(fā)散，卻可以被把握，“形式關系”將這些無窮無盡的知識聯(lián)結在一起。伴隨著新形式的出現(xiàn)，帶來了運算的變化，從而充盈起了數(shù)學運算。數(shù)學運算也為感受數(shù)學新形式提供了機會。

二、 學生數(shù)學素質(zhì)的養(yǎng)成
數(shù)學教學的最終目標是形成學生的數(shù)學素養(yǎng)，養(yǎng)成學生的意識品質(zhì)，其中包括知識與技能、過程與方法、情感、態(tài)度與價值觀。這些東西不會單獨產(chǎn)生出來，必須借助具體知識來實現(xiàn)，而數(shù)學知識不是概念、不是純記憶、不是技能的訓練，恰恰這一切都可以通過含有數(shù)學學科性質(zhì)特點的教學所引起。這樣的教學不只可以引起知識本身還可以引起能力、體驗、情感、價值觀等，一同匯聚成數(shù)學意識品質(zhì)。方程描述了世界當中的等量關系，它的出現(xiàn)帶來了字母運算和解方程。學生知道方程的概念不算數(shù)學素質(zhì)，知道“求誰設誰”也不能構成數(shù)學素質(zhì)，僅會解方程當然也不是數(shù)學素質(zhì)，方程的概念、解方程所有的這些應該是形成數(shù)學素質(zhì)時表現(xiàn)出來的東西，但是僅會背概念，僅會解方程是不能產(chǎn)生出數(shù)學素質(zhì)的。只有當學生帶著方程在解決問題時產(chǎn)生的不同之感進入到解方程的運算中，從中體會方程的普遍化意義時才有方程帶來的數(shù)學素質(zhì)。

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參考文獻（略）