本文關(guān)鍵詞：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

第三節(jié)

微分

一、微分的概念
二、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 三、微分的基本公式與法則 四、一階微分形式不變性

一、微分的概念
1．面積改變量的大小 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí),其邊長(zhǎng)由

x0 變化到 x0 ? ?x ,問(wèn)此薄片的面積改變了多少?
x
?x

( ?x ) 2
?x

?S ? ( x ? ?x)2 ? x 2

x?x

? 2 x ? ?x ? (?x) 2
(1) ( 2)

S ? x2

x?x

x

(1) : ?x的線性函數(shù) , 且為?S的主要部分 ; ( 2) : ?x的高階無(wú)窮小 ,當(dāng) ?x 很小時(shí)可忽略 .

2. 自由落體運(yùn)動(dòng)路程的改變量
自由落體路程 s與時(shí)間 t 的關(guān)系是 當(dāng)時(shí)間由 t 0變到時(shí) t 0 ? ?t ,路程 s 有相應(yīng)的改變量
1 2 s ? gt 2

1 1 2 2 ?s ? g (t 0 ? ?t ) ? gt 0 2 2 1 ? gt 0 ?t ? g (?t ) 2 2 (1)
( 2)

(1) : ?t的線性函數(shù) , 且為?s的主要部分 ; ( 2) : ?t的高階無(wú)窮小 ,當(dāng) ?t 很小時(shí)可忽略 .

面積改變量 ?S ? 2 x?x

路程改變量 ?s ? gt 0 ?t
(1) ( 2)

既容易計(jì)算 又是較好的 近似值

共性 函數(shù)改變量 ?y ? A?x ? o(?x)
(1) : ?x的線性函數(shù) , 且為?y的主要部分 ; ( 2) : ?x的高階無(wú)窮小 ,當(dāng) ?x 很小時(shí)可忽略 .

?y ? A?x
問(wèn)題:這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函 數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?

定義2-2 設(shè)函數(shù) y ? f ( x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0 及 x0 ? ?x在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量可表示為

?y ? A?x ? o(?x)
其 A 是不依賴于?x的常數(shù),而 o(?x) 是比 ?x 高階的無(wú)窮小, 那么稱函數(shù) y ? f ( x)在點(diǎn) x0是可微的, A?x叫做函數(shù) y ? f ( x) 在點(diǎn) x0 相應(yīng)于自變量增量 ?x 的微分,記作 dy x ? x0 ,即

dy

x ? x0

? A ? ?x

函數(shù) y ? f ( x) 在任意點(diǎn) 記為 dy 或 df ( x)

x

處的微分,稱為函數(shù)的微分,

dy ? A ? ?x

由定義知:

(1) dy是自變量的改變量 ?x的線性函數(shù) ;
(2) ?y ? dy ? o(?x)是比?x高階無(wú)窮小 ;

( 3) 當(dāng)A ? 0時(shí), dy與?y是等價(jià)無(wú)窮小 ; ?y o(?x) ? 1 ( x ? 0). ? 1? ? A ? ?x dy
(4) A是與?x無(wú)關(guān)的常數(shù) , 但與f ( x)和x0有關(guān);

(5) 當(dāng) ?x 很小時(shí) , ?y ? dy (線性主部 ).

微分的幾何意義

當(dāng)?y是 曲線的縱坐 標(biāo)增量時(shí) , dy就 是 切 線 縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng) 的增量 .

y
T N P
o( ? x )

y ? f ( x)
）

M

dy ?y

?x

o

?
x0

x0 ? ?x

x

當(dāng) ?x 很小時(shí), 在點(diǎn)M的附近, 切線段 MP可近似代替曲線段 MN .

二、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
函數(shù) f ( x)在點(diǎn) x0可微的充要條件是函 數(shù) f ( x)在點(diǎn) x0處 可導(dǎo), 且 A ? f ?( x0 ).
即:

可導(dǎo) ? 可微.

A ? f ?( x0 ).

證明 (1) 必要性 ? f ( x)在點(diǎn)x0可微 ?y o(?x) ? ?y ? A ? ?x ? o(?x) ? ? A ? ?x ?x ?y o(?x) 則 lim ? A ? lim ?A ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

即函數(shù)f ( x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) , 且A ? f ?( x0 ).

(2) 充分性 ?

函數(shù)f ( x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

?y ? lim ? f ?( x0 ) ?x ? 0 ?x
即
?y ? f ?( x0 ) ? ? ?x

從而 ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? (?x), ?? ? 0 (?x ? 0)
? f ?( x0 ) ? ?x ? o(?x)

?函數(shù) f ( x)在點(diǎn)x0可微, 且 f ?( x0 ) ? A.

? dy ? A?x ? f ?( x)?x

通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分 , 記作 dx, 即dx ? ?x.

? dy ? f ?( x)dx
的導(dǎo)數(shù) . 導(dǎo)數(shù)也叫 "微商 ".

dy ? f ?( x) dx

即函數(shù)的微分 dy與自變量的微分 dx之商等于該函數(shù)
例2-29 求函數(shù)y ? x3 當(dāng) x ? 2, ?x ? 0.02時(shí)的微分 .

解

? dy ? ( x )??x ? 3x 2 ?x
3
?x ?0.02

? dy x?2

? 3x ?x x?2 ? 0.24
2 ?x ?0.02

三、微分的基本公式與法則
基本初等函數(shù)的微分公式

d (C ) ? 0 d (sin x ) ? cos xdx d (tan x ) ? sec2 xdx

d ( x ? ) ? ?x ? ?1dx d (cos x ) ? ? sin xdx d (cot x ) ? ? csc2 xdx

d (sec x ) ? sec x tan xdx d (csc x ) ? ? csc x cot xdx

d (a ) ? a ln adx 1 d (loga x) ? dx x ln a 1 d (arcsin x) ? dx 1? x2
x x

d (e ) ? e dx 1 d (ln x) ? dx x
x x

d (arccosx) ? ?

1 1? x2

dx

1 d (arctan x) ? dx 2 1? x

1 d (arc cot x) ? ? dx 2 1? x

函數(shù)和、差、積、商的微分法則

d (u ? v) ? du ? dv d (uv) ? vdu ? udv

d (Cu ) ? Cdu u vdu ? udv d( ) ? v v2

例2-30 設(shè) y ? ln(x ? e ), 求dy.
解

x2

? y? ?

1 ? 2 xe x ? ex

x2

2

? dy ?

1 ? 2 xe x ? ex

x2

2

dx

例2-31 解

設(shè) y ? e1?3 x cos x, 求dy.

dy ? cos x ? d (e1?3x ) ? e1?3x ? d (cosx)

? (e1?3x )? ? ?3e1?3x
?dy ? cos x ? (?3e
? ?e
1?3 x

(cosx)? ? ? sin x
)dx ? e
1?3 x

1?3 x

? (? sin x)dx

(3 cos x ? sin x)dx

四、一階微分形式不變性
設(shè)函數(shù)y ? f ( x)有導(dǎo)數(shù) f ?( x)
(1) 若x是自變量時(shí) , dy ? f ?( x)dx;

(2) 若x是中間變量時(shí) , 即另一變量 t 的可微函數(shù) x ? ? (t ), 則

dy ? f ?( x)? ?(t )dt

?? ?(t )dt ? dx

? dy ? f ?( x)dx.

結(jié)論： 無(wú)論 x是自變量還是中間變量 , 函數(shù) y ? f ( x)的微分形式總是 dy ? f ?( x )dx 微分形式的不變性

例2-32 設(shè) y ? e
解

ax ?bx 2

, 求dy.
2

?y ? e
u

u

u ? ax ? bx

? dy ? (e )?du ? eu d (ax ? bx2 )
?e
例2-33
( ax ?bx 2 )

(a ? 2bx)dx

設(shè) y ? ln(x 2 ? x ? 2), 求dy.

解

1 dy ? 2 d ( x 2 ? x ? 2) x ? x?2

2 x ?1 ? 2 dx x ? x?2

主要內(nèi)容
微分的定義
微分的幾何意義: 切線縱坐標(biāo)的改變量 可導(dǎo)與可微的關(guān)系: 微分公式 可導(dǎo) 可微

一階微分形式不變性

無(wú)論 x是自變量還是中間變量 ,

函數(shù)y ? f ( x )的微分形式總是 dy ? f ?( x )dx



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