本文關(guān)鍵詞：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

第二章
第一節(jié)
一、實(shí)例

一元函數(shù)微分學(xué)
導(dǎo)數(shù)的概念

二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

一、實(shí)例
1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線做變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

s ? s (t )
求時(shí)刻 t 0 的瞬時(shí)速度.

取一鄰近于t 0的時(shí)刻t , 運(yùn)動(dòng)時(shí)間?t ,

?s s (t0 ? ?t ) ? s(t0 ) ? 平均速度 v ? ?t ?t
當(dāng) t ? t 0時(shí), 取極限得

t 0 ?t t

s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 瞬時(shí)速度 v ? lim v ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t

2. 細(xì)胞的增殖速度
設(shè)增殖細(xì)胞在某一時(shí)刻 t 的總數(shù)為 N ,顯然 N是時(shí)間 t 的函數(shù)

N ? N (t )
求細(xì)胞在時(shí)刻 t 0 的瞬時(shí)增長(zhǎng)率. 從 t 0 變化到 t0 ? t 這段時(shí)間內(nèi),細(xì)胞的平均增長(zhǎng)率為

?N N (t0 ? ?t ) ? N (t0 ) ? ?t ?t 當(dāng) ?t ? 0時(shí), 取極限得
N (t0 ? ?t ) ? N (t0 ) ?N lim ? lim 瞬時(shí)增長(zhǎng)率= ? t ?0 ?t ?t ?0 ?t

二、導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

, 定義2-1 設(shè)函數(shù) y ? f ( x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 相應(yīng)地函數(shù) y有增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 如果?y與?x 之比的極限

當(dāng)自變量 x在 x0處有增量?x ( 點(diǎn)x0 ? ?x 仍在該鄰域內(nèi) ) 時(shí),

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 存在, 則稱函數(shù)y ? f ( x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo), 并稱這個(gè)極限為 函數(shù) y ? f ( x)在點(diǎn) x0處關(guān)于x的導(dǎo)數(shù), 記為y? x ? x0 ,

f ?( x0 ),

dy dx

df ( x) x ? x0 , dx

x ? x0

.

即

y?

x ? x0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

由導(dǎo)數(shù)定義
變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 0 的瞬時(shí)速度為 v ? s?(t0 ) 細(xì)胞在時(shí)刻 t 0 的瞬時(shí)增殖速度為 N ?(t0 ) 注意 若極限不存在,就稱函數(shù) f ( x)在點(diǎn) x0 處不可導(dǎo); 若不可導(dǎo),且極限為無(wú)窮大,為方便起見(jiàn),記為 f ?( x0 ) ? ?.也

稱函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.

單側(cè)導(dǎo)數(shù)
左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim? ? lim? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

注意 函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：

f ?' ( x0 ) ? f ?' ( x0 )
導(dǎo)函數(shù)
（1） 如果函數(shù)y ? f ( x)在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)

都可導(dǎo) , 就稱函數(shù)f ( x)在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) .

對(duì) 于 任 一x ? I , 都 對(duì) 應(yīng) 著 f ( x) 的 一 個(gè) 確 定 的 導(dǎo) 數(shù) 值.這 個(gè) 函 數(shù) 叫 做 原 來(lái) 函 數(shù) f ( x) 的 導(dǎo) 函 數(shù) .記 作 y?, f ?( x), dy df ( x) 或 . dx dx

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 即 y ? ? lim ?x ? 0 ?x
f ?( x0 ) ? f ?( x)
x ? x0

很明顯

（2）如果 f ( x ) 在開(kāi)區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo),且 f ?? (a) 及 f ?(b) ? 都存在,就說(shuō) f ( x) 在閉區(qū)間 [a , b] 上可導(dǎo).

例2-1 已知函數(shù) y ? x ,求 y?
2

解 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? 2 x?x ? (?x) 2

?y y? ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
例2-2 已知函數(shù) f ( x) ?

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? 2 x ? ?x ?x ?x

x 求導(dǎo)函數(shù) y?及 y? x?1

解

?y ? x ? ?x ? x

?y x ? ?x ? x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) 1 ? ? ? ?x ?x ?x x ? ?x ? x x ? ?x ? x

?y 1 1 y? ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x
y? x ?1 ? 1 2

例2-3 據(jù)1985年人口調(diào)查,我國(guó)有10.15億人口,人口 平均年增長(zhǎng)率為1.489％,根據(jù)馬爾薩斯(Malthus)人口理 論,我國(guó)人口增長(zhǎng)模型為

f ( x) ? 10.15e0.01489 x
其中，，x 代表年數(shù) (0, 1, 2, ? ??) ,并定義1985年為這個(gè)模型 的起始年 x ? 0.按照此模型可以預(yù)測(cè)我國(guó)在2005年人口將 有13.6710億.求我國(guó)人口增長(zhǎng)率函數(shù)?怎樣控制人口增長(zhǎng) 速度？

解 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 10.15e0.01489x (e0.01489?x ? 1)
0.01489?x ?y ( e ? 1) 0.01489x ? 10.15e ?x ?x 0.01489?x ?y e ?1 0.01489x lim ? 10.15e lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

? 10.15e

0.01489x

0.01489?x ( e ? 1 ? 0.01489?x) ? 0.01489

所以人口增長(zhǎng)率函數(shù)為
0.01489x ? f ( x) ? 0.01489 ?10.15e

讓人口年增長(zhǎng)率0.01489變小,人口的增長(zhǎng)速度就變小, 故可控制人口的增長(zhǎng).

導(dǎo)數(shù)的幾何意義
切線：割線的極限

割線 MN繞點(diǎn) M旋轉(zhuǎn)而 趨向極限 位置MT, 直線MT 就稱為曲 線在點(diǎn)M 處的切線.

y

NN N N T

M

o

x

設(shè) M ( x0 , y0 ), N ( x, y ).

y
y ? f ( x)

割線MN的斜率為

N
?y T

y ? y0 tan ? ? x ? x0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x
當(dāng)

C M
o
?
?

x0

?x x ? x0 ? ?x x

C N ?沿曲線 ?? ? ? M , ?x ? 0 所以

切線MT的斜率為

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) k ? tan ? ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x

所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為:
f ?( x0 )表示曲線y ? f ( x)在點(diǎn)M ( x0 , f ( x0 ))處的切線的斜率tan?.

y
y ? f ( x)

T

M
o
?

x0

x

在( x0 , f ( x0 ))處的

切線方程為

y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).

1 ( x ? x0 ) (f ? (x0 ) ? 0). 法線方程為 y ? y0 ? ? f ?( x0 )

(3,9)處的切線方程和法線方 程. 例2-5 求曲線y ? x2在點(diǎn)

y? x?3 ? 6 解 由例2-1有, y? ? 2 x ，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為 k ? y? x?3 ? 6
故曲線y ? x2在點(diǎn) (3,9)處的切線方程為
y ? 9 ? 6( x ? 3)

即 y ? 6x ? 9 ? 0

法線方程為
1 y ? 9 ? ? ( x ? 3) 6

即 6 y ? x ? 57 ? 0

三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的．

證明 設(shè)函數(shù) f ( x)在點(diǎn)x0可導(dǎo) ,則
?y lim ? f ?( x 0 ) ?x ? 0 ? x

由極限與無(wú)窮小的關(guān)系
?y ? f ?( x0 ) ? ? 即 ?y ? f ?( x0 )?x ? ??x ?x

其中 ? ? 0 ( ?x ? 0)

? lim ?y ? lim [ f

?( x0 )?x ? ??x] ? 0
?x ?0 ?x ?0

?函數(shù) y ? f ( x)在點(diǎn)x0連續(xù).

反之不成立.即連續(xù)不一定可導(dǎo)．
比如 函數(shù) f ( x) ? x 在x ? 0處連續(xù)但不可導(dǎo)
f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? 解 ? h ?x
y
y? x

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x ? lim? ? lim ?1 ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x
f (0 ? ?x) ? f (0) ? ?x lim? ? lim ? ?1 ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x

o

x

即 f ??(0) ? f ??(0)

?函數(shù)y ? f ( x)在x ? 0點(diǎn)不可導(dǎo) .

主要內(nèi)容
1. 導(dǎo)數(shù)的定義與實(shí)質(zhì): 瞬時(shí)變化率
2. f ?( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ??( x0 ) ? a

3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 4. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 不一定可導(dǎo)

切線的斜率 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù),但連續(xù)



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