本文關(guān)鍵詞：求函數(shù)值域的方法，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

　

高中函數(shù)值域和定義域的大小,是高中數(shù)學(xué)常考的一個知識點,本文介紹了函數(shù)求值域最常用的九種方法和例題講解.

一．觀察法
　　通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
　　例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。
　　點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，，先求出√(2－3x)的值域。
　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，
　　故3+√(2－3x)≥3。
　　∴函數(shù)的知域為.
　　點評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。
　　本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）
　　二．反函數(shù)法
　　當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
　　例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
　　解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。
　　點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）
　　三．配方法
　　當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域
　　例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。
　　點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。
　　解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]
　　點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
　　四．判別式法
　　若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
　　點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
　　解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）
　　當(dāng)y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
　　當(dāng)y=2時,方程(＊)無解。∴函數(shù)的值域為2＜y≤10/3。
　　點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。
　　五．最值法
　　對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
　　點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
　　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
　　當(dāng)x=-1時，z=－5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4。
　　∴函數(shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。
　　點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
　　練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為（）
　　A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）
　�。ù鸢福篋）。
　　六．圖象法
　　通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
　　例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。
　　點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。
　　解：原函數(shù)化為－2x+1(x≤1)
　　y=3(-1<x≤2)
　　2x-1(x>2)
　　它的圖象如圖所示。
　　顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。
　　點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象
　　求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。
　　求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域

七．單調(diào)法
　　利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
　　例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
　　點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。
　　解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x
　　在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。
　　點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
　　八．換元法
　　以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。
　　例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。
　　點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。
　　解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則
　　x=1/2(t2-1)。
　　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
　　所以，原函數(shù)的值域為｛y|y≥－7/2｝。
　　點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
　　九．構(gòu)造法
　　根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。
　　例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
　　點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。
　　解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
　　作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位
　　正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,
　　KC=√(x+2)2+1。
　　由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共
　　線時取等號。
　　∴原函數(shù)的知域為｛y|y≥5｝。
　　點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

以上九種是函數(shù)求值域最常用的方法,下面介紹三種特殊情況下求值域的幾種方法.

十．比例法
　　對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。
　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。
　　點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。
　　解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))
　　∴x=3+4k,y=1+3k,
　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
　　當(dāng)k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。
　　函數(shù)的值域為｛z|z≥1｝.
　　點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。
　　練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
　　十一．利用多項式的除法
　　例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。
　　點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。
　　練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
　　十二．不等式法
　　例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。
　　點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。
　　解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],
　　由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)＞0
　　1-x≠0
　　解得，0＜x<1。
　　∴函數(shù)的值域（0，1）。
　　點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。
　　

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