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黎曼流形

　　愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論告訴我們，引力并不是真正的力，而是反映空間扭曲的一個(gè)幾何現(xiàn)象。對(duì)一個(gè)考察者來(lái)說(shuō)，他身處在這個(gè)空間里，是無(wú)法直接體會(huì)到空間扭曲的。 但是他可以通過(guò)測(cè)量自己所處的空間來(lái)判斷是否存在空間扭曲，，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)就是所謂的度量。 度量是內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。 具有度量的空間就稱(chēng)為黎曼空間。

      黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，換句話(huà)說(shuō)，這個(gè)流形上有一個(gè)對(duì)稱(chēng) 正定 協(xié)變 二階張量場(chǎng)， 亦即每一點(diǎn)處有一個(gè)2階正定矩陣。給了度量以后， 我們就可以向數(shù)學(xué)分析里做的那樣，建立起微積分的理論。 　　

      歐氏空間有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩陣就是單位矩陣。 　　歐氏空間中的子流形當(dāng)然也就自然地誘導(dǎo)出一個(gè)度量。 曲線(xiàn)和曲面的微分幾何 里，我們都是把曲線(xiàn)曲面視為三維空間的子流形，所以自然賦予了度量結(jié)構(gòu)。 　　

      黎曼度量給定后，我們可以有唯一的確定出一個(gè)對(duì)稱(chēng)（即無(wú)撓）聯(lián)絡(luò)，并且它是保持黎曼內(nèi)積。這個(gè)聯(lián)絡(luò)稱(chēng)為黎曼聯(lián)絡(luò)。 　　有了聯(lián)絡(luò)，我們就可以定義向量場(chǎng)的協(xié)變微分和協(xié)變導(dǎo)數(shù)，從而建立起流形上的微分學(xué)。 在歐氏空間上，聯(lián)絡(luò)是0，所以這就是通常意義上的向量函數(shù)的微分。 　　黎曼度量還誘導(dǎo)出黎曼曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度，是內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，也就是說(shuō)這個(gè)性質(zhì)與流形所在的大空間無(wú)關(guān)。 曲率恒消失的流形稱(chēng)為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見(jiàn)的平坦流形。 　　

      大數(shù)學(xué)家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 發(fā)現(xiàn)這種曲率是內(nèi)蘊(yùn)的，盡管它的定義式不是內(nèi)蘊(yùn)的。 這是一個(gè)非常了不起的發(fā)現(xiàn)。

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