本文關(guān)鍵詞：力學(xué)，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

簡介

彈性力學(xué)

彈性力學(xué)也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學(xué)同材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)之間有一定的分工。材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學(xué)主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學(xué)研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。

發(fā)展簡史

彈性力學(xué)的發(fā)展大體分為四個時期。

物理學(xué)家H·R·赫茲解決了接觸問題

發(fā)展初期的工作是通過實踐，探索彈性力學(xué)的基本規(guī)律。這個時期的主要成就是R.胡克于1678年發(fā)表的彈性體的變形與外力成正比的定律，后來被稱為胡克定律。

第二個時期是理論基礎(chǔ)的建立時期。這個時期的主要成就是，從1822～1828年間，在A.-L·柯西發(fā)表的一系列論文中明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、平衡(運動)微分方程，各向同性和各向異性材料的廣義胡克定律，從而為彈性力學(xué)奠定了理論基礎(chǔ)。

第三個時期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展時期。這個時期的主要特點是彈性力學(xué)被廣泛應(yīng)用于工程問題，同時在理論方面建立了許多重要的定理和原理，并提出了許多有效的計算方法。這個時期從A·J·C·B·de圣維南于1855～1856年間發(fā)表關(guān)于柱體的扭轉(zhuǎn)和彎曲的論文后開始，開辟了一條用半物理半數(shù)學(xué)的方法解彈性力學(xué)基本方程的途徑。接著G·B·艾里解決了平面應(yīng)力問題，H·R·赫茲解決了接觸問題，G·基爾施解決了孔邊應(yīng)力集中問題，等等。這些成就的取得，使彈性力學(xué)得到工程界的重視。在這個時期中，彈性力學(xué)的一般理論也有了很大的發(fā)展。在彈性力學(xué)基本方程建立后不久，建立了彈性力學(xué)的虛功原理和最小勢能原理。1872年E.貝蒂建立了互換定理。1879年A·卡斯蒂利亞諾建立了余能原理。由于這些能量原理的建立，使基于這些原理的近似計算（如瑞利－里茲法和伽遼金法）也得到了發(fā)展。

從20世紀(jì)20年代起，彈性力學(xué)進(jìn)入第四個時期，各向異性和非均勻體的彈性力學(xué)、非線性彈性力學(xué)、熱彈性力學(xué)等都有了重大發(fā)展。另外，還出現(xiàn)了許多邊緣分支，如研究固體與氣體（或液體）共同作用的氣動彈性力學(xué)以及粘彈性力學(xué)等。這些領(lǐng)域的發(fā)展，促進(jìn)了有關(guān)工程技術(shù)的發(fā)展。

主要內(nèi)容

相關(guān)書籍

彈性力學(xué)所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學(xué)在考慮物體的變形時，只考慮經(jīng)過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數(shù)學(xué)中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。

求解一個彈性力學(xué)問題，就是設(shè)法確定彈性體中各點的位移、應(yīng)變和應(yīng)力共15個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，就可求解。數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)體軸對稱變形等方面。

在近代，經(jīng)典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應(yīng)力的成對性發(fā)展為極性物質(zhì)彈性力學(xué)；把協(xié)調(diào)方程(保證物體變形后連續(xù)，各應(yīng)變分量必須滿足的關(guān)系)發(fā)展為非協(xié)調(diào)彈性力學(xué)；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構(gòu)方程。對于彈性體的某一點的本構(gòu)方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非局部彈性力學(xué)等。

基本假定 

1．假定物體是連續(xù)的，就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。
2．假定物體是完全彈性的，就是假定物體完全服從胡克定律——應(yīng)變與引起該應(yīng)變的那個應(yīng)力分量成比例。
3．假定物體是均勻的，就是整個物體是由同一材料組成的。
4．假定物體是各向同性的，就是物體內(nèi)一點的彈性在所有各個方向都相同。
5．假定位移和形變是微小的。

分支學(xué)科 

主要分支
靜力學(xué)、動力學(xué)、流體力學(xué)、分析力學(xué)、運動學(xué)、固體力學(xué)、材料力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、流變學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、爆炸力學(xué)、磁流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、理性力學(xué)、物理力學(xué)、天體力學(xué)、生物力學(xué)、計算力學(xué)
物理分支
物理學(xué)概覽、力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)、核物理學(xué)、固體物理學(xué)

基本方程

在各向同性線性彈性力學(xué)中，為了求得應(yīng)力、應(yīng)變和位移，先對構(gòu)成物體的材料以及物體的變形作了五條基本假設(shè)，即：連續(xù)性假設(shè)、均勻性假設(shè)、各向同性假設(shè)、完全彈性假設(shè)和小變形假設(shè)，然后分別從問題的靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面出發(fā)，導(dǎo)得彈性力學(xué)的基本方程和邊界條件的表達(dá)式。

直角坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)的基本方程為平衡微分方程：

　　　　　　(1)

幾何方程： 　　　

　　　　　　 (2)

物理方程：

　　　　　　 (4)

這里的 Xc、X�、X硎咀饔迷諼鍰灞礱嫻牡ノ幻婊系拿媼κ噶康娜齜至�，l、m、n表示物體表面外法線的三個方向余弦。

如物體表面位移ū、X8、XP已知，則邊界條件表示為

u＝ū，，v＝X8，w＝XP　　　　　　　　　 (5)

這樣就將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解一組偏侮分方程的問題。

主要解法式(1)、(2)、(3)中有15個變量，15個方程，在給定了邊界條件后，從理論上講應(yīng)能求解。但由(2)、(3)式可見，應(yīng)變分量、應(yīng)力分量和位移分量之間不是彼此獨立的，因此求解彈性力學(xué)問題通常有兩條途徑。其一是以位移作為基本變量，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解以位移表示的平衡微分方程，這個方程可以從(1)、(2)、(3)式中消去應(yīng)變分量和應(yīng)力分量而得到。其二是以應(yīng)力作為基本變量，應(yīng)力分量除了要滿足平衡微分方程和靜力邊界條件外，為保證物體變形的連續(xù)性，對應(yīng)的應(yīng)變分量還須滿足相容方程：

　　　 (6)

這組方程由幾何方程消去位移分量而得到。對于不少具體問題，上述方程還可以簡化。

在彈性力學(xué)中，為克服求解偏微分方程(或方程組)的困難，通常采用試湊法，即根據(jù)物體形狀的幾何特性和受載情況，去試湊位移分量或應(yīng)力分量；由彈性力學(xué)解的唯一性定理，只要所試湊的量滿足全部方程和全部邊界條件，即為問題的精確解。

從數(shù)學(xué)觀點來看，彈性力學(xué)方程的定解問題可變?yōu)榍蠓汉臉O值問題。例如，對于用位移作為基本變量求解的問題，又可以歸結(jié)為求解變分方程：

　　　　　　　　　 δП1＝0　　　　　　　　　(7)

П1是物體的總勢能，它是一切滿足位移邊界條件的位移的泛函。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，精確的位移將使總勢能П1取最小值的稱為最小勢能原理。又如對于用應(yīng)力作為基本變量求解的問題，可歸結(jié)為求解變分方程：

　　　　　　　　　 δП2＝0　　　　　　　　　(8)

П2為物體的總余能，它是一切滿足平衡微分方程和靜力邊界條件的應(yīng)力分量的泛函。精確的應(yīng)力分量將使總余能 П2取最小值的稱為最小余能原理。(7)式等價于用位移表示的平衡微分方程和靜力邊界條件，而(8)式則等價于用應(yīng)

相關(guān)書籍

力表示的相容方程。在求問題的近似解時，上述泛函的極值問題又進(jìn)而變?yōu)楹瘮?shù)的極值問題，最后歸結(jié)為求解線性非齊次代數(shù)方程組。
 
還有各種所謂的廣義變分原理，其中最一般的是廣義勢能原理和廣義余能原理，它們等價于彈性力學(xué)的全部基本方程和邊界條件。但和總勢能П1和總余能П2不同，廣義勢能和廣義余能作為應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量的泛函，對于精確解，也只取非極值的駐值。
 
由于彈性力學(xué)的基本方程是在彈性力學(xué)的五條基本假設(shè)下通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出的，因此彈性力學(xué)又稱為數(shù)學(xué)彈性力學(xué)。而板殼力學(xué)則屬于應(yīng)用彈性力學(xué)。因為，它除了引用這五條基本假設(shè)外，還對變形和應(yīng)力的分布作了一些附加假設(shè)。從這個意義上講，材料力學(xué)也可納入應(yīng)用彈性力學(xué)�？梢姡m然彈性力學(xué)和材料力學(xué)都研究桿狀構(gòu)件，但前者所獲得的結(jié)果是比較精確的。

相關(guān)學(xué)科

靜力學(xué)、動力學(xué)、流體力學(xué)、分析力學(xué)、運動學(xué)、固體力學(xué)、材料力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、流變學(xué)、塑性力學(xué)、爆炸力學(xué)、磁流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、理性力學(xué)、物理力學(xué)、天體力學(xué)、生物力學(xué)、計算力學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)、核物理學(xué)、固體物理學(xué)。

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