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 第三節(jié) 幾何學

 

第三節(jié) 幾何學

一、解析幾何

　　直到18世紀，才真正全面引進和建立我們今天所熟悉的各種坐標系．

　　在牛頓以前，人們一般只使用一根坐標軸(x軸)，而且只用正方向，他第一個使用兩根坐標軸以及負x、負y值，并且在所有四個象限作圖，從而最終形成了今天的平面直角坐標系．

　　1715年，約翰·貝努利引進了今天通用的三個坐標平面．隨后，他又和克萊羅等人弄清了曲面能用三個坐標變量的一個方程表示出來這個觀念．1731年克萊羅研究了三維坐標幾何的若干問題．赫爾曼(J．Hermarm，1678—1733)也是18世紀幾何大家之一，1732年他曾指出方程x2＋y2＝f(z)是繞z軸的一個旋轉曲面，隨后，歐拉系統(tǒng)地進行過三維坐標幾何工作．歐拉、拉格朗日和蒙日對18世紀的解析幾何做出了巨大的貢獻．

　　早在17世紀，牛頓和詹姆士·貝努利就曾引進了極坐標，1729年赫爾曼正式宣布極坐標是普遍可用的，自由地用極坐標去研究各種曲線，他的貢獻之一是繪出了從直角坐標到極坐標的變換：x＝zn，y=zm．而歐拉則給出了今天的形式：x=zcosθ，y＝zsinθ(此處z相當于極徑r)．至歐拉為止，極坐標已正式形成了．

　　1748年，歐拉引進了曲線的參數(shù)表示：x＝(t)，y=(t)．

　　坐標變換在18世紀也為數(shù)學家開始廣泛使用了．1748年，歐

拉為了使一般的三個變量的二次方程

ax2＋by2＋cz2＋dxy＋exz＋fyz＋gx+hy+kz=l

　　所表示的二次曲面的對稱軸正好是坐標軸，引進了從xyz坐標系到x′y′z′坐標系的變換：

　　

　　通過這種變換，歐拉發(fā)現(xiàn)了雙曲拋物面，并且從標準形中對六種曲面(錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、雙曲拋物面、拋物柱面)進行了統(tǒng)一處理．

　　歐拉和拉格朗日分別在1770年和1773年給出了齊次線性正交變換

　　

　　　

　　(λ，μ，γ)與(λ′，μ′，γ′)、(λ″，μ″，γ″)為方向余弦．我們在前面還提到，拉普拉斯等引進了球面變換．在理論上尤其值得重視的是，歐拉指出曲線的次數(shù)是線性變換下的不變量．

　　18世紀，數(shù)學家們在高次平面曲線的研究方面有重大進展．牛頓第一個對高次平面曲線進行了廣泛的研究．1704年，他出版了《三次曲線例舉》(Enumeratio Linearum Tertii Ordi-nis)，這是其著作《光學》(Opticks)一書英文版的附錄．他識別了72種三次曲線，并證明了能夠把一般的三次方程

ax3+bx2y＋cxy2+dy3+ex2+fxy＋gy2+hx+jy+k=0

　　所代表的一切曲線通過坐標軸的變換化為下列形式之一：

　　(a) xy2＋ey＝ax3＋bx2＋cx+d，

　　(b) xy=ax3＋bx2＋cx＋d，

　　(c)y2＝ax3＋bx2＋cx＋d，

　　(d) y＝ax3＋bx2＋cx＋d．

　　而且將第三類曲線(C)稱為發(fā)散拋物線，此外還給出了許多關于高次曲線性質的結論．

　　法國數(shù)學家克萊羅(A．C．Clairaut，1713—1765)是18世紀幾何學發(fā)展的關鍵人物之一．他成才很早，是早熟的典型代表，12歲時就寫了一部非常出色的關于曲線的著作．1729年16歲時完成了《關于雙重曲率曲線的研究》(Recherche Sur lesCourbes à double Courbure)一書，于1731年發(fā)表，在曲面和空間曲線方面頗有建樹．由于在幾何學方面的成就，他未滿18歲即成為法國科學院院士，后又于1737年被選為英國皇家學會會員．1736年，他參加了以測量子午線為目的的勘察工作，1743年，出版了關于地球形狀的經典著作《地球形狀理論》(Théoriede la figure de la terre)，提出了“克萊羅大地測量基本定律”，即確定地球表面重力分布與地形、旋轉角速參數(shù)之間關系的定律．1752，出版《月球的理論》(Théorie de la Lune)一書，對月球運動、哈雷彗星的運動、太陽的攝動進行了廣泛深入的研究，該書獲得彼得堡科學院獎金．他與歐拉一同被公認為是運動動力學的創(chuàng)始人．他是牛頓巨著《自然哲學的數(shù)學原理》的法文譯者，為此他付出了艱辛的勞動．

　　克萊羅在微分方程、高次平面曲線，特別是微分幾何方面頗有建樹．他對曲線的拐點、曲線的分支等問題進行了討論，還證明了射影定理．

　　總的來說，在高次曲線的研究方面，18世紀還很不完善，在這方面系統(tǒng)完整的理論直到19世紀才建立起來．

二、微分幾何

　　雖然從微積分開始創(chuàng)立時，微分幾何的研究就開始了，但作為一門完整的學科，微分幾何卻是直到18世紀才獨立出來．“微分幾何”一詞則遲至1894年才第一次為人所使用．

　　由于惠更斯、牛頓、萊布尼茨、貝努利家族的工作，微分幾何中平面曲線的理論如漸屈線、漸伸線、曲率、包絡、曲率半徑等問題在17世紀已基本上完成了．

　　空間曲線理論，作為三維微分幾何中的重大理論，應歸功于法國數(shù)學家克萊羅．他把一條空間曲線看作是兩個曲面的交線．他在空間曲線微分幾何方面的貢獻主要是，給出了空間曲線弧長的微積分表達式，以及部分曲面面積的求積公式．他還提出過空間曲線有兩個曲率的思想．

　　從1774年開始，歐拉開始了微分幾何的研究，他開始用參數(shù)方程x=x(s)，y＝y(tǒng)(s)，z＝z(s)表示空間曲線(s為弧長)他得出了空間曲線曲率半徑的公式

　　

　　他還給出密切平面方程，這個方程等價于今天的方程：

　　

　　空間曲線的另一個曲率——撓率在18世紀也得到了，用今天的公式

　　柯西等人在19世紀完成的．

　　在一個平面上，兩點之間的最短距離是直線，那么在曲面上兩點之間的最短弧(距離)是什么呢？為了解決這個問題，17世紀數(shù)學家們開始了測地線的研究，從而也就開始了微分幾何曲面理論研究．18世紀克萊羅、歐拉、赫爾曼等人都研究過測地線，1728年歐拉還給出了曲面上測地線的微分方程．測地線在今天微分幾何教材中構成了一個重要的內容——短程線．

　　1760年，歐拉在《關于曲面上曲線的研究》(RecherchesSur la Courbure des Surfaces)中建立了曲面的理論，這部著作堪稱微分幾何發(fā)展史上的一個里程碑．他將曲面表為z＝f(x，y)，并且引進了下述現(xiàn)代標準

　　對于曲線的法曲率kn，以及任何一個法截面與主曲率所在法截面所

是兩個互相垂直的法平面的主曲率．這個公式同時說明，主曲率k1和k2是法曲率kn的最大值、最小值．歐拉自覺或不自覺地引進并使用了主曲率、法曲率、法截線、法平面等一系列新的幾何概念．1776年，蒙日的學生梅斯尼埃(J．Meusnier dela Place，1754—1793)得到了“梅斯尼埃定理”：

　　

　　隨后他又證明了兩個主曲率處處相等的曲面只有平面和球面．他的論文使得18世紀許多微分幾何成果變得直觀了．

　　1771年，歐拉在《論表面可以展平的立體》一文中，引進了曲面的參數(shù)表示：x＝x(t，u)，y＝y(tǒng)(t，u)，z＝t(t，u)并且

　　這些新的表示方法對微分幾何的推進極大，直接為研究曲面的基本齊式等問題提供了有力武器．

　　歐拉和蒙日還討論了可展曲面問題，歐拉在1771年得到了可展曲面的一個充分必要條件：

　　

　　1775年，，蒙日給出了可展曲面的另外三種條件．

　　蒙日是18世紀的幾何大師，是繼笛卡兒、德扎格之后在幾何方面的重要革新者，他在畫法幾何、解析幾何、微分幾何、射影幾何方面都有卓越的貢獻．被人稱為射影幾何的集大成者，微分幾何之父．

省的小城鎮(zhèn)博恩(Beaune)一窮苦家庭，先在家鄉(xiāng)一天主教學校讀書，后轉學里昂．不久入梅濟耶爾(Méziéres)皇家軍事工程學院學習．1768年畢業(yè)后在該校任教，1769年完成第一篇關于微分幾何學的論文．1772年，被巴黎科學院選為通訊研究員，1775年，皇家軍事工程學校正式授予他“皇家數(shù)學和物理學教授”頭銜，時年29歲．1780年以后定居巴黎，從事數(shù)學、科學研究和政治活動．他的廣泛的科學研究贏得了好評．拉格朗日在聽了蒙日的一次講演后對他說：“我親愛的同事，你剛才提出了許多第一流的成果，要是我能夠做出來就好了．”在化學方面，他和近代化學之父拉瓦錫(A．L．Lavoisier)一起工作，取得了一些重要成果．他已經意識到了工業(yè)發(fā)展對科學的要求，因此主張大力發(fā)展科學，并且將工業(yè)化視為改善人民生活的重要途徑．

　　由于出身貧寒，使蒙日深深懂得卑賤者的苦難，因此他熱衷于參加社會事務．又由于法國大革命時期和拿破侖執(zhí)政時期重用學者，使得蒙日得以成為近代參政的著名科學家的代表．法國大革命開始后，蒙日積極投身于其中，1790年加入雅各賓俱樂部，并成為其重要成員，積極利用科學為資產階級革命服務，在巴黎科學院的度量衡委員會工作．1792年法蘭西共和國成立，他在政府中擔任海軍部長，重視武器裝備的設計與改進，并企圖用技術思想來指導政府官員，但由于過于溫和而遭政府中不少官員的反對，任職8個月后即辭職，繼續(xù)進行度量衡等問題的研究，以后又曾擔任科學普及委員會、公眾健康委員會委員等．

　　蒙日十分注重科學技術教育，1794年負責籌建法國第一流的高等科技學院，沒多久建成了著名的法國多科工藝學校，他擔校長多年，培養(yǎng)出了一大批世界知名學者．他還建議成立培養(yǎng)師資的專門學校，1795年1月建成了世界上第一所高等師范學�！屠韪叩葞煼秾W校．他為法國乃至西方的高等科學技術教育、師范教育奠定了基礎．

　　拿破侖執(zhí)政后，蒙日深得這位曾一度是其學生的法蘭西統(tǒng)帥的重用．1798年7月隨拿破侖去埃及，曾籌建埃及科學院并任院長，在埃及時對沙漠中的海市蜃樓現(xiàn)象作出了解釋．拿破侖霧月政變后，蒙日被任命為元老院終身議員，后任議長．1800年，創(chuàng)立國家工業(yè)獎勵會，同年，拿破侖以高級爵位、勛章授予蒙日．1808年被封為佩呂斯(Péluse)伯爵．拿破侖失敗、波旁王朝復辟后，他被革去一切職務．不久病逝．

　　蒙日在多科工藝學校和高等師范學校培養(yǎng)了許多著名學者，尤其是建立了幾何學派．他巧妙地將微積分、微分方程與幾何學結合起來，在微積分中引進了幾何語言，在幾何中引入了微積分工具．他在微分方程中引入了特征曲線，特征錐等一系列全新的概念，在微分幾何中引進了三維空間的曲面曲率線的概念．尤為重要的是，他在巴黎高等工藝大學的幾何教學，培養(yǎng)了許多有才能的幾何學者，如杜班(C．Dupin，1784—1873)和龐斯列(V．Poncelet，1788—1867)，對幾何學的發(fā)展產生了深遠影響．

　　18世紀微分幾何的研究主要是受大地測量和地圖繪制等問題的推動．在這些問題的研究中發(fā)現(xiàn)了保角映射等映射問題，拉格朗日、歐拉、蘭伯特等人曾研究過這些問題，如蘭伯特第一個研究了球面到平面的保角映射，并于1772年得到了這種映射的公式，1779年拉格朗日得到了地球表面的一部分映射到一平面區(qū)域并且把緯圓和經圓都變?yōu)閳A弧的全部保角變換，歐拉則利用映射方面的知識繪制了一張俄國地圖．但是這方面的進一步發(fā)展卻有待19世紀復變函數(shù)理論．18世紀的微分幾何實際上只是為19世紀的大發(fā)展作準備．

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